Bài 9: Tích của một số với một vectơ

I. Lý thuyết trọng tâm Tích của một số với một vectơ

1. Khái niệm & Tính chất phép nhân số với vectơ

⚡ Định nghĩa Tích của số $k$ với vectơ $\vec{a}$

Tích của số thực $k \ne 0$ với vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ là một vectơ, ký hiệu $k\vec{a}$, được xác định như sau:

Hướng: Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k < 0$.
Độ dài: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

Quy ước $0\vec{a} = \vec{0}$ và $k\vec{0} = \vec{0}$.

2. Điều kiện hai vectơ cùng phương & Ba điểm thẳng hàng

📌 Điều kiện cùng phương & Thẳng hàng

• Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \ne \vec{0}$) cùng phương $\Leftrightarrow$ Tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$.

• Ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương $\Leftrightarrow \vec{AB} = k\vec{AC}$.

3. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

⚡ Định lý Biểu diễn vectơ

Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Với mọi vectơ $\vec{c}$ tùy ý, luôn tồn tại duy nhất một cặp số thực $(m; n)$ sao cho:

$$\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$$

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Vectơ $ec{a}$ và các vectơ gấp $2ec{a}$ (cùng hướng) và $-1.5ec{a}$ (ngược hướng).

💡 Mô phỏng 1: Các vectơ ka với hệ số k dương và k âm.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Thực hiện phép nhân số với vectơ & Rút gọn

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Áp dụng tính chất phân phối $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ và $(k+h)\vec{a} = k\vec{a} + h\vec{a}$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Rút gọn biểu thức tuyến tính)

Rút gọn biểu thức $u = 3(2\vec{a} - \vec{b}) - 2(\vec{a} - 3\vec{b})$.

💡Xem lời giải

• $u = 6\vec{a} - 3\vec{b} - 2\vec{a} + 6\vec{b} = (6 - 2)\vec{a} + (-3 + 6)\vec{b} = 4\vec{a} + 3\vec{b}$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tìm x thỏa mãn phương trình vectơ)

Tìm vectơ $\vec{x}$ thỏa mãn $2\vec{x} + 3\vec{a} = \vec{b}$.

💡Xem lời giải

• $2\vec{x} = \vec{b} - 3\vec{a} \Rightarrow \vec{x} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{3}{2}\vec{a}$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Tính độ dài ka)

Cho $|\vec{a}| = 4$. Tính độ dài $|-3\vec{a}|$ và $|0.5\vec{a}|$.

💡Xem lời giải

• $|-3\vec{a}| = |-3| \cdot |\vec{a}| = 3 \times 4 = 12$.

• $|0.5\vec{a}| = 0.5 \times 4 = 2$.

Dạng 2: Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Chèn điểm thích hợp và dùng quy tắc 3 điểm, hệ thức trung điểm để biểu diễn theo $\vec{a}, \vec{b}$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Biểu diễn trung tuyến theo 2 cạnh)

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Biểu diễn $\vec{AM}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

💡Xem lời giải

• $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow \vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}$.

• $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Phân tích vectơ theo 2 cạnh hình bình hành)

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm $CD$. Biểu diễn $\vec{AI}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AD}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AI} = \vec{AD} + \vec{DI} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Biểu diễn vectơ qua trọng tâm)

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Biểu diễn $\vec{AG}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

💡Xem lời giải

• Gọi $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow \vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AM}$.

• Vì $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) \Rightarrow \vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$.

Dạng 3: Chứng minh hai vectơ cùng phương & 3 điểm thẳng hàng

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Biểu diễn $\vec{AB} = k\vec{AC}$. Nếu có $k$ thỏa mãn thì $A, B, C$ thẳng hàng.

🔍 Ví dụ 3.1 (Chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

Cho tam giác $ABC$. Lấy điểm $M$ trên $AB$ sao cho $\vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ và $N$ trên $AC$ sao cho $\vec{AN} = \frac{1}{3}\vec{AC}$. Chứng minh $\vec{MN} // \vec{BC}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{3}\vec{BC}$.

• Do đó $\vec{MN}$ cùng phương với $\vec{BC}$, hay $MN // BC$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Tìm k để 3 điểm thẳng hàng)

Cho tam giác $ABC$. Điểm $D$ thỏa $\vec{BD} = k\vec{BC}$. Tìm $k$ để $A, G, D$ thẳng hàng ($G$ là trọng tâm $\triangle ABC$).

💡Xem lời giải

• $A, G, D$ thẳng hàng $\Leftrightarrow D$ là trung điểm $BC \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Chứng minh 2 đường thẳng song song)

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Chứng minh $\vec{DI} = \vec{JB}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{DI} = \vec{DA} + \vec{AI} = \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{AB}$.

• $\vec{JB} = \vec{JC} + \vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{DA} = \vec{DI}$.

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vectơ chứa tỉ số

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Dùng biến đổi vectơ kết hợp các tỉ lệ chia đoạn thẳng.

🔍 Ví dụ 4.1 (Điểm chia đoạn theo tỉ số 2:1)

Cho đoạn thẳng $AB$. Điểm $M$ thuộc $AB$ sao cho $MA = 2 MB$. Biểu diễn $\vec{OM}$ theo $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$.

💡Xem lời giải

• Vì $M$ nằm giữa $A, B$ và $MA = 2MB \Rightarrow \vec{MA} = -2\vec{MB} \Leftrightarrow \vec{OA} - \vec{OM} = -2(\vec{OB} - \vec{OM})$.

• $3\vec{OM} = \vec{OA} + 2\vec{OB} \Rightarrow \vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Công thức điểm chia tỉ số tổng quát)

Điểm $K$ thỏa mãn $\vec{KA} + 3\vec{KB} = \vec{0}$. Biểu diễn $\vec{OK}$ theo $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$.

💡Xem lời giải

• $(\vec{OA} - \vec{OK}) + 3(\vec{OB} - \vec{OK}) = \vec{0} \Leftrightarrow 4\vec{OK} = \vec{OA} + 3\vec{OB}$.

• $\vec{OK} = \frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Hệ thức tam giác có phân giác trong)

Cho tam giác $ABC$ có chân đường phân giác trong góc $A$ là $D$. Biết $b = AC, c = AB$. Biểu diễn $\vec{AD}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

💡Xem lời giải

• Theo tính chất đường phân giác: $\frac{DB}{DC} = \frac{c}{b} \Rightarrow b\vec{DB} + c\vec{DC} = \vec{0}$.

• $\vec{AD} = \frac{b}{b+c}\vec{AB} + \frac{c}{b+c}\vec{AC}$.

Dạng 5: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Rút gọn VT và VP thành $k MI = R$ (đường tròn) hoặc $MI = MJ$ (đường trung trực).

🔍 Ví dụ 5.1 (Tập hợp điểm M là đường tròn)

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}| = 6$.

💡Xem lời giải

• Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC \Rightarrow \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$.

• Biểu thức $|3\vec{MG}| = 6 \Leftrightarrow 3 MG = 6 \Leftrightarrow MG = 2$.

• Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R = 2$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Tập hợp điểm M là đường trung trực)

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $|\vec{MA} + \vec{MB}| = |\vec{MA} + \vec{MC}|$.

💡Xem lời giải

• Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $AC$.

• $|2\vec{MI}| = |2\vec{MJ}| \Leftrightarrow MI = MJ$.

• Tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $IJ$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Tập hợp điểm M trên đường thẳng)

Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $\vec{MA} + \vec{MB} = k \vec{BC}$ với $k \in \mathbb{R}$.

💡Xem lời giải

• $2\vec{MI} = k\vec{BC} \Rightarrow \vec{MI} // \vec{BC}$.

• Tập hợp $M$ là đường thẳng đi qua $I$ (trung điểm $AB$) và song song với $BC$.

Dạng 6: Bài toán thực tế Biểu diễn vận tốc & Gia tốc lực

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Gia tốc $\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}$; Lực $F = m a$. Nhân số $k$ điều chỉnh độ lớn và hướng của vectơ.

🔍 Ví dụ 6.1 (Vectơ gia tốc xe ô tô)

Một xe ô tô tăng vận tốc từ $v_0 = 10\text{ m/s}$ lên $v = 25\text{ m/s}$ trong khoảng thời gian $t = 5\text{ s}$ theo hướng Bắc. Biểu diễn vectơ gia tốc $\vec{a}$.

💡Xem lời giải

• Độ lớn gia tốc $a = \frac{25 - 10}{5} = 3\text{ m/s}^2$.

• Vectơ gia tốc $\vec{a}$ cùng hướng với vectơ vận tốc (hướng Bắc), độ lớn $3\text{ m/s}^2$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Định luật 2 Newton F = m.a)

Vật khối lượng $m = 2\text{ kg}$ thu gia tốc $\vec{a}$ có độ lớn $4\text{ m/s}^2$ hướng sang Đông. Tính độ lớn và hướng của lực tác dụng $\vec{F} = m\vec{a}$.

💡Xem lời giải

• Vì $m = 2 > 0$ nên lực $\vec{F}$ cùng hướng với $\vec{a}$ (hướng Đông).

• Độ lớn $F = m \cdot a = 2 \times 4 = 8\text{ N}$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Vận tốc đoàn tàu hỏa gấp k lần)

Tàu A chạy với vận tốc $\vec{v}_A = 40\text{ km/h}$ hướng Nam. Tàu B chạy ngược hướng Bắc với vận tốc $80\text{ km/h}$. Biểu diễn $\vec{v}_B$ theo $\vec{v}_A$.

💡Xem lời giải

• Vì hai tàu chạy ngược hướng và độ lớn gấp 2 lần nên $\vec{v}_B = -2\vec{v}_A$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho $k < 0$ và $\vec{a} \ne \vec{0}$. Vectơ $k\vec{a}$ có hướng như thế nào so với $\vec{a}$?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Độ dài của tích $k\vec{a}$ được tính bằng công thức nào?

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \ne \vec{0}$) cùng phương là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho $I$ là trung điểm của $AB$. Đẳng thức nào sau đây **SAI**?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$. Với điểm $M$ bất kỳ, biểu diễn $\vec{MG}$ theo $\vec{MA}, \vec{MB}, \vec{MC}$ là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Biểu diễn $\vec{AM}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Rút gọn biểu thức $2(3\vec{a} - \vec{b}) - 3(\vec{a} - 2\vec{b})$ thu được:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho điểm $N$ nằm trên đoạn $AB$ sao cho $AN = 2 NB$. Mối liên hệ giữa $\vec{AN}$ và $\vec{AB}$ là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Vectơ vận tốc $\vec{v}$ của xe chuyển động nhanh gấp 3 lần xe có vận tốc $\vec{v}_0$ cùng hướng được biểu diễn là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Tích của một số với một vectơ (5 Bài lớn)

Bài 1 (Cơ bản). Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là điểm trên $AC$ sao cho $AN = 2 NC$. Biểu diễn $\vec{MN}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

💡Xem lời giải Bài 1

• $\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}$.

Bài 2 (Thông hiểu). Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $K$ là trung điểm $BC$. Biểu diễn $\vec{AK}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AD}$.

💡Xem lời giải Bài 2

• $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Bài 3 (Vận dụng). Cho tam giác $ABC$. Điểm $I$ thỏa mãn $\vec{IA} + 2\vec{IB} = \vec{0}$ và $J$ thỏa $3\vec{JA} + 2\vec{JC} = \vec{0}$. Chứng minh $I, J$ và điểm $K$ trên $BC$ thích hợp sẽ thẳng hàng.

💡Xem lời giải Bài 3

• Biểu diễn $\vec{IJ}$ theo $\vec{AB}, \vec{AC}$ rồi tìm tỉ số $k$ để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Bài 4 (Vận dụng cao). Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $|2\vec{MA} + 3\vec{MB}| = |\vec{MA} - \vec{MB}|$ trong mặt phẳng cho trước tam giác $ABC$.

💡Xem lời giải Bài 4

• Gọi $K$ thỏa mãn $2\vec{KA} + 3\vec{KB} = \vec{0} \Rightarrow 2\vec{MA} + 3\vec{MB} = 5\vec{MK}$.

• $|5\vec{MK}| = BA \Leftrightarrow MK = \frac{AB}{5}$.

• Tập hợp $M$ là đường tròn tâm $K$ bán kính $R = AB/5$.

Bài 5 (Thực tế). Một máy bay chịu tác dụng của lực nâng $\vec{F}_1$ hướng lên thẳng đứng có độ lớn $40000\text{ N}$ và lực cản của không khí $\vec{F}_2 = -0.1 \vec{F}_1$. Tính độ lớn và hướng của lực cản $\vec{F}_2$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Vì $k = -0.1 < 0$ nên lực cản $\vec{F}_2$ hướng xuống thẳng đứng.

• Độ lớn $F_2 = 0.1 \times 40000 = 4000\text{ N}$.