Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

I. Lý thuyết trọng tâm Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ & Quy tắc 3 điểm, Hình bình hành

⚡ Định nghĩa & Quy tắc cộng vectơ

• Quy tắc 3 điểm: Với 3 điểm $A, B, C$ bất kỳ: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

• Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

• Tính chất: Giao hoán $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$; Kết hợp $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$; Cộng với $\vec{0}$: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

2. Vectơ đối & Hiệu của hai vectơ

📌 Vectơ đối & Quy tắc trừ chung gốc

• Vectơ đối: Vectơ đối của $\vec{a}$ ký hiệu là $-\vec{a}$. Ta có $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$. Vectơ đối của $\vec{AB}$ là $\vec{BA}$.

• Hiệu hai vectơ: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

• Quy tắc trừ chung gốc: Với 3 điểm $O, A, B$ bất kỳ: $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$.

3. Tính chất Trung điểm & Trọng tâm tam giác

⚡ Hệ thức trung điểm & trọng tâm

• $I$ là trung điểm của $AB$ $\Leftrightarrow \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$.

• Với điểm $M$ bất kỳ, $I$ là trung điểm $AB \Leftrightarrow \vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$.

• $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Leftrightarrow \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.

• Với điểm $M$ bất kỳ, $G$ là trọng tâm $\triangle ABC \Leftrightarrow \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Quy tắc 3 điểm $ec{AB} + ec{BC} = ec{AC}$ và Quy tắc hình bình hành $ec{AB} + ec{AD} = ec{AC}$.

💡 Mô phỏng 1: Vectơ tổng AC (màu đỏ) từ quy tắc 3 điểm AB + BC.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Quy tắc 3 điểm & Quy tắc hình bình hành

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Áp dụng $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ và $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (với $ABCD$ là hình bình hành).

🔍 Ví dụ 1.1 (Cộng vectơ nối tiếp)

Cho 4 điểm $A, B, C, D$. Tính tổng $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$.

💡Xem lời giải

• $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Quy tắc hình bình hành)

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Rút gọn $\vec{AB} + \vec{AD}$.

💡Xem lời giải

• Theo quy tắc hình bình hành, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} = 2\vec{AO}$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Cộng vòng khép kín)

Cho tam giác $ABC$. Tính tổng $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$.

Dạng 2: Phép trừ hai vectơ & Vectơ đối

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Đổi phép trừ thành cộng với vectơ đối: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ hoặc dùng $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Trừ hai vectơ chung gốc)

Cho tam giác $ABC$. Rút gọn $\vec{AC} - \vec{AB}$.

💡Xem lời giải

• Theo quy tắc trừ chung gốc $A$: $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Trừ hai vectơ trong hình chữ nhật)

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Rút gọn $\vec{AB} - \vec{AC}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Biến đổi tổng hiệu nhiều vectơ)

Rút gọn biểu thức $S = \vec{AB} - \vec{CD} + \vec{BC} - \vec{AD}$.

💡Xem lời giải

• $S = \vec{AB} + \vec{DC} + \vec{BC} + \vec{DA} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{DC} + \vec{DA}) = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$.

Dạng 3: Tính độ dài tổng và hiệu hai vectơ |a⃗ + b⃗|, |a⃗ - b⃗|

📌 Phương pháp giải Dạng 3

1. Dùng quy tắc cộng/trừ để rút gọn tổng/hiệu thành 1 vectơ duy nhất $\vec{u}$.

2. Tính độ dài đoạn thẳng tương ứng $|\vec{u}|$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Độ dài tổng 2 vectơ vuông góc)

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính $|\vec{AB} + \vec{AD}|$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} \Rightarrow |\vec{AB} + \vec{AD}| = AC = a\sqrt{2}$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Độ dài hiệu 2 vectơ trong tam giác đều)

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính $|\vec{AB} - \vec{AC}|$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} \Rightarrow |\vec{AB} - \vec{AC}| = CB = a$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Độ dài tổng 2 vectơ trong tam giác đều)

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Tính $|\vec{AB} + \vec{AC}|$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AH} \Rightarrow |\vec{AB} + \vec{AC}| = 2 AH = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Dạng 4: Đẳng thức Trung điểm & Trọng tâm tam giác

📌 Phương pháp giải Dạng 4

• $I$ là trung điểm $AB \Leftrightarrow \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$.

• $G$ là trọng tâm $\triangle ABC \Leftrightarrow \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Biểu diễn vectơ trung điểm)

Cho $I$ là trung điểm $AB$ và $M$ là điểm tùy ý. Chứng minh $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{MA} + \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) + (\vec{MI} + \vec{IB}) = 2\vec{MI} + (\vec{IA} + \vec{IB}) = 2\vec{MI} + \vec{0} = 2\vec{MI}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Biểu diễn vectơ trọng tâm)

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh với điểm $O$ bất kỳ: $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 3\vec{OG}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = (\vec{OG} + \vec{GA}) + (\vec{OG} + \vec{GB}) + (\vec{OG} + \vec{GC}) = 3\vec{OG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = 3\vec{OG}$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Hệ thức 2 tam giác cùng trọng tâm)

Cho hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có cùng trọng tâm $G$. Chứng minh $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = \vec{0}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = (\vec{AG} + \vec{GA'}) + (\vec{BG} + \vec{GB'}) + (\vec{CG} + \vec{GC'})$

• $= (\vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'}) - (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$.

Dạng 5: Rút gọn & Chứng minh đẳng thức vectơ

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Biến đổi Vế Trái (VT) thành Vế Phải (VP) bằng cách chèn điểm thích hợp.

🔍 Ví dụ 5.1 (Chứng minh đẳng thức 4 điểm)

Cho 4 điểm $A, B, C, D$. Chứng minh $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}$.

💡Xem lời giải

• $VT = \vec{AB} + \vec{CD} = (\vec{AD} + \vec{DB}) + (\vec{CB} + \vec{BD}) = \vec{AD} + \vec{CB} + (\vec{DB} + \vec{BD}) = \vec{AD} + \vec{CB} = VP$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Chứng minh đẳng thức hình bình hành)

Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Chứng minh $\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}$.

💡Xem lời giải

• Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD \Rightarrow O$ là trung điểm $AC$ và $BD$.

• $VT = \vec{MA} + \vec{MC} = 2\vec{MO}$. $VP = \vec{MB} + \vec{MD} = 2\vec{MO}$.

• Do đó $VT = VP$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Rút gọn biểu thức tổng hiệu)

Rút gọn $P = \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{DH} - \vec{DF}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$. $\vec{DH} - \vec{DF} = \vec{FH}$.

• $P = \vec{CB} + \vec{FH}$.

Dạng 6: Bài toán tổng hợp lực & Vận tốc tổng hợp thực tế

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$. Dùng quy tắc hình bình hành để tính độ lớn $|\vec{F}|$.

🔍 Ví dụ 6.1 (Hợp lực hai lực vuông góc)

Hai lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ cùng tác dụng vào một vật tại điểm $O$. Biết hai lực vuông góc nhau và có độ lớn $F_1 = 30\text{ N}, F_2 = 40\text{ N}$. Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$.

💡Xem lời giải

• Vì $\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2 \Rightarrow |\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ N}$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Hợp lực góc 60°)

Hai lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ có cùng độ lớn $100\text{ N}$, góc giữa hai lực là $60^\circ$. Tính độ lớn hợp lực $\vec{F}$.

💡Xem lời giải

• Hình bình hành hợp lực là hình thoi cạnh 100. Độ dài đường chéo $F = 2 \cdot 100 \cdot \cos 30^\circ = 100\sqrt{3}\text{ N} \approx 173.2\text{ N}$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Vận tốc thuyền chèo qua sông)

Một con thuyền chèo vuông góc với bờ sông với vận tốc $4\text{ km/h}$. Dòng nước chảy xuôi dòng với vận tốc $3\text{ km/h}$. Tính vận tốc thực tế của thuyền so với bờ sông.

💡Xem lời giải

• Vectơ vận tốc thực tế $\vec{v} = \vec{v}_{th\text{uề}n} + \vec{v}_{n\text{ướ}c}$.

• Do hai vận tốc vuông góc nhau $\Rightarrow v = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\text{ km/h}$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Quy tắc 3 điểm cho tổng hai vectơ là đẳng thức nào sau đây?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho hình bình hành $ABCD$. Tổng $\vec{AB} + \vec{AD}$ bằng vectơ nào?

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Quy tắc trừ hai vectơ chung điểm đầu là đẳng thức nào?

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Vectơ đối của vectơ $\vec{AB}$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì tổng $\vec{IA} + \vec{IB}$ bằng:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Tổng $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ bằng:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Độ dài của vectơ $\vec{AB} + \vec{AC}$ bằng:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Độ dài của vectơ $\vec{AB} - \vec{AC}$ bằng:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Tổng $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Hợp lực của hai lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ vuông góc với nhau và có độ lớn lần lượt là $3\text{ N}$ và $4\text{ N}$ có độ lớn bằng:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Tổng và hiệu của hai vectơ (5 Bài lớn)

Bài 1 (Cơ bản). Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$ và $\vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CB}$.

💡Xem lời giải Bài 1

• Quy tắc trừ: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

• Quy tắc cộng giao hoán: $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Bài 2 (Thông hiểu). Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ có tâm $O$. Tính $|\vec{OA} - \vec{OB}|$ và $|\vec{AB} + \vec{AC}|$.

💡Xem lời giải Bài 2

• $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA} \Rightarrow |\vec{OA} - \vec{OB}| = a$.

• Gọi $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow \vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM} = 2\sqrt{a^2 + (a/2)^2} = a\sqrt{5}$.

Bài 3 (Vận dụng). Cho tam giác $ABC$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$. Chứng minh $\vec{AM} + \vec{BN} + \vec{CP} = \vec{0}$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$, $\vec{BN} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})$, $\vec{CP} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})$.

• Tổng 3 vectơ $= \frac{1}{2}[(\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{AC} + \vec{CA}) + (\vec{BC} + \vec{CB})] = \vec{0}$.

Bài 4 (Vận dụng cao). Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $|\vec{MA} + \vec{MB}| = |\vec{MA} - \vec{MB}|$.

💡Xem lời giải Bài 4

• Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow \vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI} \Rightarrow |\vec{MA} + \vec{MB}| = 2 MI$.

• $\vec{MA} - \vec{MB} = \vec{BA} \Rightarrow |\vec{MA} - \vec{MB}| = BA$.

• Đẳng thức $\Leftrightarrow 2 MI = BA \Leftrightarrow MI = \frac{AB}{2}$.

• Tập hợp điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$.

Bài 5 (Thực tế). Ba lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ cùng tác dụng vào một điểm $O$ và vật ở trạng thái cân bằng. Biết $F_1 = 60\text{ N}, F_2 = 80\text{ N}$ và $\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2$. Tính độ lớn của lực $\vec{F}_3$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Trạng thái cân bằng $\Leftrightarrow \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0} \Rightarrow \vec{F}_3 = -(\vec{F}_1 + \vec{F}_2)$.

• Độ lớn $|\vec{F}_3| = |\vec{F}_1 + \vec{F}_2| = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100\text{ N}$.