Bài 7: Các khái niệm mở đầu

I. Lý thuyết trọng tâm Khái niệm Vectơ

1. Vectơ & Độ dài vectơ

⚡ Định nghĩa Vectơ

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

• Vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ ký hiệu là $\vec{AB}$. Đồ thị biểu diễn bằng mũi tên từ $A$ đến $B$.

• Độ dài của vectơ: Là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, ký hiệu $|\vec{AB}| = AB$.

2. Vectơ cùng phương, cùng hướng

📌 Giá của vectơ & Quan hệ cùng phương

• Giá của vectơ: Là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

• Hai vectơ cùng phương: Khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

3. Hai vectơ bằng nhau & Vectơ không

⚡ Hai vectơ bằng nhau & Vectơ $\vec{0}$

• Hai vectơ bằng nhau: Khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài ($\vec{a} = \vec{b}$).

• Vectơ không ($\vec{0}$): Là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau ($\vec{AA} = \vec{0}$). Độ dài $|\vec{0}| = 0$. Quy ước $\vec{0}$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Hình bình hành $ABCD$ biểu diễn hai vectơ bằng nhau $ec{AB} = ec{DC}$ và $ec{AD} = ec{BC}$.

💡 Mô phỏng 1: Hai cặp vectơ bằng nhau song song và cùng độ dài trong hình bình hành.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Khái niệm vectơ & Độ dài vectơ

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Độ dài vectơ $|\vec{AB}|$ chính là độ dài đoạn thẳng $AB$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính độ dài vectơ trong tam giác đều)

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a = 6\text{ cm}$. Tính độ dài của các vectơ $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA}$.

💡Xem lời giải

• $|\vec{AB}| = AB = 6\text{ cm}$.

• $|\vec{BC}| = BC = 6\text{ cm}$.

• $|\vec{CA}| = CA = 6\text{ cm}$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tính độ dài vectơ đường chéo hình chữ nhật)

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3\text{ cm}, AD = 4\text{ cm}$. Tính độ dài của vectơ $\vec{AC}$.

💡Xem lời giải

• $|\vec{AC}| = AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Độ dài vectơ không)

Cho điểm $M$ bất kỳ. Tính độ dài $|\vec{MM}|$.

💡Xem lời giải

• $\vec{MM} = \vec{0} \Rightarrow |\vec{MM}| = 0$.

Dạng 2: Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Kiểm tra đường thẳng mang các vectơ xem có song song hoặc trùng nhau không.

🔍 Ví dụ 2.1 (Xác định các vectơ cùng phương trên đường thẳng)

Cho 3 điểm $A, B, C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Kể tên các cặp vectơ cùng hướng và ngược hướng tạo bởi 3 điểm này.

💡Xem lời giải

• Các cặp vectơ cùng hướng: $(\vec{AB}, \vec{AC})$, $(\vec{BA}, \vec{CA})$.

• Các cặp vectơ ngược hướng: $(\vec{AB}, \vec{BA})$, $(\vec{AB}, \vec{CB})$, $(\vec{BC}, \vec{CB})$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Vectơ cùng phương trong hình bình hành)

Cho hình bình hành $ABCD$. Tìm các vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương với $\vec{AB}$.

💡Xem lời giải

• Giá của $\vec{AB}$ là đường thẳng $AB$. Đường thẳng $CD // AB$.

• Các vectơ cùng phương với $\vec{AB}$ là: $\vec{BA}, \vec{CD}, \vec{DC}$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Vectơ đường trung bình tam giác)

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Tìm các vectơ cùng hướng với $\vec{BC}$.

💡Xem lời giải

• Đường trung bình $MN // BC$ và cùng chiều từ trái sang phải $M \to N$ trùng $B \to C$.

• Vectơ $\vec{MN}$ cùng hướng với $\vec{BC}$.

Dạng 3: Tìm các vectơ bằng nhau trong hình học

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Tìm các vectơ cùng hướng và cùng độ dài.

🔍 Ví dụ 3.1 (Các vectơ bằng nhau trong hình bình hành)

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Tìm các cặp vectơ bằng nhau có điểm đầu và cuối là các điểm $A, B, C, D, O$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} = \vec{DC}$ và $\vec{BA} = \vec{CD}$.

• $\vec{AD} = \vec{BC}$ và $\vec{DA} = \vec{CB}$.

• $\vec{AO} = \vec{OC}$ và $\vec{DO} = \vec{OB}$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Vectơ bằng nhau trong hình lục giác đều)

Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Tìm các vectơ bằng với vectơ $\vec{AB}$.

💡Xem lời giải

• Các vectơ bằng $\vec{AB}$ là: $\vec{FO}, \vec{OC}, \vec{ED}$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Vectơ trung điểm)

Cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tìm mối quan hệ giữa $\vec{AI}$ và $\vec{IB}$.

💡Xem lời giải

• Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $AI = IB$ và hướng từ $A \to I$ trùng hướng từ $I \to B$.

• Do đó $\vec{AI} = \vec{IB}$.

Dạng 4: Đếm số lượng vectơ tạo bởi n điểm phân biệt

📌 Phương pháp giải Dạng 4

• Số vectơ khác $\vec{0}$ lập từ $n$ điểm phân biệt là $A_n^2 = n(n - 1)$.

• Nếu tính cả vectơ không $\vec{0}$ thì cộng thêm $n$ (bằng $n^2$).

🔍 Ví dụ 4.1 (Đếm số vectơ từ 5 điểm phân biệt)

Cho 5 điểm phân biệt $A, B, C, D, E$. Có bao nhiêu vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối chọn từ 5 điểm này?

💡Xem lời giải

• Số vectơ khác $\vec{0}$ là: $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$ vectơ.

🔍 Ví dụ 4.2 (Đếm số vectơ của tam giác)

Có bao nhiêu vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác $ABC$?

💡Xem lời giải

• Có 3 điểm $A, B, C \Rightarrow A_3^2 = 3 \times 2 = 6$ vectơ: $\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{CB}, \vec{CA}, \vec{AC}$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Đếm số vectơ tính cả vectơ không)

Có bao nhiêu vectơ (kể cả vectơ $\vec{0}$) có điểm đầu và điểm cuối chọn từ 4 đỉnh của hình vuông $ABCD$?

💡Xem lời giải

• Số vectơ khác $\vec{0}$: $A_4^2 = 12$.

• Số vectơ không: 4 vectơ ($\vec{AA}, \vec{BB}, \vec{CC}, \vec{DD}$).

• Tổng số vectơ $= 12 + 4 = 16$ vectơ.

Dạng 5: Tính độ dài vectơ trong hình học phẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Sử dụng định lý Pitago hoặc hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dài đoạn thẳng tương ứng.

🔍 Ví dụ 5.1 (Tính độ dài vectơ trung tuyến)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6\text{ cm}, AC = 8\text{ cm}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính $|\vec{AM}|$.

💡Xem lời giải

• Cạnh $BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$.

• Trung tuyến ứng với cạnh huyền: $AM = \frac{BC}{2} = 5\text{ cm}$.

• $|\vec{AM}| = AM = 5\text{ cm}$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Độ dài vectơ đường cao tam giác đều)

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Tính $|\vec{AH}|$.

💡Xem lời giải

• $AH$ là đường cao tam giác đều $\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

• $|\vec{AH}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Độ dài vectơ đường chéo hình thoi)

Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh $a$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Tính $|\vec{BD}|$ và $|\vec{AC}|$.

💡Xem lời giải

• Tam giác $ABD$ đều cạnh $a \Rightarrow BD = a \Rightarrow |\vec{BD}| = a$.

• $AC = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \Rightarrow |\vec{AC}| = a\sqrt{3}$.

Dạng 6: Ứng dụng vectơ biểu diễn lực & vận tốc thực tế

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Vectơ lực/vận tốc có hướng chỉ chiều chuyển động/tác dụng lực, độ dài thể hiện độ lớn (N, m/s, km/h).

🔍 Ví dụ 6.1 (Vectơ trọng lực thực tế)

Một vật có khối lượng $m = 5\text{ kg}$ đặt trên mặt bàn phẳng. Biểu diễn vectơ trọng lực $\vec{P}$ tác dụng lên vật (lấy $g = 9.8\text{ m/s}^2$). Tính độ dài $|\vec{P}|$.

💡Xem lời giải

• Trọng lực $\vec{P}$ có phương thẳng đứng, chiều từ trên xuống dưới.

• Độ lớn $|\vec{P}| = P = m \cdot g = 5 \times 9.8 = 49\text{ N}$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Vectơ vận tốc tàu thuyền)

Một con thuyền di chuyển theo hướng Đông với vận tốc $15\text{ km/h}$. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{v}$ của thuyền và tính độ dài của nó.

💡Xem lời giải

• Vectơ $\vec{v}$ có hướng nằm ngang sang phải (hướng Đông).

• Độ dài $|\vec{v}| = 15\text{ km/h}$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Lực kéo hai người)

Hai người cùng kéo một chiếc xe theo hai hướng ngược nhau với lực $F_1 = 100\text{ N}$ và $F_2 = 120\text{ N}$. Biểu diễn hai vectơ lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2$ và tìm hướng di chuyển của xe.

💡Xem lời giải

• Hai vectơ lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ cùng phương nhưng ngược hướng.

• Vì $|\vec{F}_2| > |\vec{F}_1|$ (120N > 100N) nên xe sẽ di chuyển theo hướng của người thứ hai với hợp lực có độ lớn $120 - 100 = 20\text{ N}$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Vectơ là gì?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Ký hiệu độ dài của vectơ $\vec{AB}$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Vectơ không (ký hiệu $\vec{0}$) có độ dài bằng bao nhiêu?

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Hai vectơ được gọi là **cùng phương** khi và chỉ khi:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Hai vectơ được gọi là **bằng nhau** khi và chỉ khi:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho hình bình hành $ABCD$. Vectơ nào sau đây bằng vectơ $\vec{AB}$?

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ là hai vectơ:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Số lượng vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong số 4 đỉnh của hình vuông $ABCD$ là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Độ dài của vectơ $\vec{AC}$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào **ĐÚNG**?

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Khái niệm vectơ

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Khái niệm Vectơ (5 Bài lớn)

Bài 1 (Cơ bản). Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 4, AD = 3$. Tính $|\vec{AB}|, |\vec{AD}|, |\vec{AC}|, |\vec{BD}|$.

💡Xem lời giải Bài 1

• $|\vec{AB}| = 4, |\vec{AD}| = 3$.

• $|\vec{AC}| = |\vec{BD}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Bài 2 (Thông hiểu). Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$. Chứng minh $\vec{AO} = \vec{OC}$ và $\vec{BO} = \vec{OD}$. Kể tên 4 cặp vectơ bằng nhau khác.

💡Xem lời giải Bài 2

• Vì $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$ nên $\vec{AO} = \vec{OC}$ và $\vec{BO} = \vec{OD}$.

• 4 cặp vectơ bằng nhau: $\vec{AB} = \vec{DC}, \vec{BA} = \vec{CD}, \vec{AD} = \vec{BC}, \vec{DA} = \vec{CB}$.

Bài 3 (Vận dụng). Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CA$. Tìm tất cả các vectơ bằng với vectơ $\vec{MN}$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $MN // AC$ và $MN = AC/2 = AP = PC$.

• Các vectơ bằng $\vec{MN}$ là: $\vec{AP}$ và $\vec{PC}$.

Bài 4 (Vận dụng cao). Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ cạnh $a$. Tính độ dài của các vectơ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$.

💡Xem lời giải Bài 4

• $|\vec{AB}| = a$.

• $|\vec{AC}| = a\sqrt{3}$ (đường chéo ngắn).

• $|\vec{AD}| = 2a$ (đường chéo dài qua tâm $O$).

Bài 5 (Thực tế). Một chiếc dây cáp treo kéo cabin có lực kéo $F = 5000\text{ N}$ nghiêng góc $30^\circ$ so với mặt đất nằm ngang. Phân tích vectơ lực $\vec{F}$ thành hai thành phần nằm ngang $\vec{F}_x$ và thẳng đứng $\vec{F}_y$. Tính độ lớn $|\vec{F}_x|$ và $|\vec{F}_y|$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Thành phần nằm ngang: $|\vec{F}_x| = F \cos 30^\circ = 5000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2500\sqrt{3} \approx 4330\text{ N}$.

• Thành phần nâng thẳng đứng: $|\vec{F}_y| = F \sin 30^\circ = 5000 \cdot 0.5 = 2500\text{ N}$.