Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

I. Lý thuyết trọng tâm Tích vô hướng của hai vectơ

1. Định nghĩa Tích vô hướng & Góc giữa hai vectơ

⚡ Định nghĩa Tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ là một số thực, ký hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, được tính bằng:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\vec{a}, \vec{b})$$

Quy ước: Nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

• Bình phương vô hướng: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

2. Biểu thức tọa độ của Tích vô hướng

📌 Tích vô hướng trong tọa độ $Oxy$

Cho $\vec{u} = (x_1; y_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2)$:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

• Độ dài vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$.

• Khoảng cách 2 điểm: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

3. Các ứng dụng: Góc, Độ dài & Vuông góc

⚡ Công thức Góc & Điều kiện vuông góc

• Cosine góc giữa 2 vectơ:

$$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

• Điều kiện vuông góc: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Mô phỏng góc $ heta$ giữa 2 vectơ $ec{a}$ và $ec{b}$ xuất phát từ gốc $O$.

💡 Mô phỏng 1: Góc theta giữa hai vectơ a và b trong hệ tọa độ.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Tính tích vô hướng bằng định nghĩa

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Xác định độ dài $|\vec{a}|, |\vec{b}|$ và góc $\theta = (\vec{a}, \vec{b})$ để tính $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tích vô hướng trong tam giác đều)

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a = 4\text{ cm}$. Tính tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

💡Xem lời giải

• Góc giữa $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ là $\widehat{BAC} = 60^\circ$.

• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 4 \times 4 \times \frac{1}{2} = 8$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tích vô hướng hai vectơ ngược hướng)

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a = 3$. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$.

💡Xem lời giải

• Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng $\Rightarrow$ góc $(\vec{AB}, \vec{CD}) = 180^\circ$.

• $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = AB \cdot CD \cdot \cos 180^\circ = 3 \times 3 \times (-1) = -9$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Tích vô hướng hai vectơ vuông góc)

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 5, AD = 4$. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$.

💡Xem lời giải

• Do $AB \perp AD \Rightarrow (\vec{AB}, \vec{AD}) = 90^\circ \Rightarrow \cos 90^\circ = 0$.

• $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.

Dạng 2: Biểu thức tọa độ của Tích vô hướng

📌 Phương pháp giải Dạng 2

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tính tích vô hướng 2 vectơ tọa độ)

Cho $\vec{u} = (2; -3)$ và $\vec{v} = (4; 1)$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(4) + (-3)(1) = 8 - 3 = 5$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Tích vô hướng giữa 2 vectơ AB và AC)

Cho $A(1; 2), B(4; 6), C(5; 2)$. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} = (3; 4)$, $\vec{AC} = (4; 0)$.

• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3(4) + 4(0) = 12$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Bình phương vô hướng tọa độ)

Cho $\vec{a} = (-3; 4)$. Tính $\vec{a}^2$.

💡Xem lời giải

• $\vec{a}^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Dạng 3: Góc giữa hai vectơ trong hệ tọa độ Oxy

📌 Phương pháp giải Dạng 3

$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tính góc giữa 2 vectơ u và v)

Tính góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1)$ và $\vec{v} = (0; 2)$.

💡Xem lời giải

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(0) + 1(2) = 2$.

• $|\vec{u}| = \sqrt{2}$, $|\vec{v}| = 2$.

• $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 45^\circ$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Tính góc A trong tam giác ABC)

Cho tam giác $ABC$ với $A(1; 1), B(2; 4), C(5; 2)$. Tính số đo góc $\widehat{A}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} = (1; 3)$, $\vec{AC} = (4; 1)$.

• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1(4) + 3(1) = 7$.

• $|\vec{AB}| = \sqrt{10}$, $|\vec{AC}| = \sqrt{17}$.

• $\cos A = \frac{7}{\sqrt{170}} \approx 0.5369 \Rightarrow \widehat{A} \approx 57.53^\circ$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Góc tù giữa hai vectơ)

Tính góc giữa $\vec{a} = (-1; 1)$ và $\vec{b} = (2; 0)$.

💡Xem lời giải

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, $|\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 2$.

• $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 135^\circ$.

Dạng 4: Điều kiện hai vectơ vuông góc u⃗ ⊥ v⃗

📌 Phương pháp giải Dạng 4

$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Tìm m để u ⊥ v)

Cho $\vec{u} = (x; -2)$ và $\vec{v} = (3; 6)$. Tìm $x$ để $\vec{u} \perp \vec{v}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow 3x + (-2)(6) = 0 \Leftrightarrow 3x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Chứng minh tam giác ABC vuông)

Cho $A(1; 3), B(4; 7), C(8; 4)$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

💡Xem lời giải

• $\vec{BA} = (-3; -4)$, $\vec{BC} = (4; -3)$.

• $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3)(4) + (-4)(-3) = -12 + 12 = 0$.

• Do đó $\vec{BA} \perp \vec{BC} \Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $B$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Tìm điểm H là chân đường cao)

Cho $A(1; 5), B(2; 1), C(6; 3)$. Tìm chân đường cao $H$ kẻ từ $A$ xuống $BC$.

💡Xem lời giải

• $H \in BC \Rightarrow H(2+4t; 1+2t)$. $\vec{AH} = (4t+1; 2t-4)$, $\vec{BC} = (4; 2)$.

• $\vec{AH} \perp \vec{BC} \Leftrightarrow 4(4t+1) + 2(2t-4) = 0 \Leftrightarrow 20t - 4 = 0 \Rightarrow t = 1/5$.

• Tọa độ $H(2.8; 1.4)$.

Dạng 5: Bình phương vô hướng & Tính độ dài trong tam giác

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Tính $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Tính độ dài |a + b| khi biết góc)

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4$ và góc $(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$. Tính $|\vec{a} + \vec{b}|$.

💡Xem lời giải

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 4 \times \cos 60^\circ = 6$.

• $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9 + 12 + 16 = 37$.

• $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{37}$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Tính độ dài hiệu |a - b|)

Trong Ví dụ 5.1, tính $|\vec{a} - \vec{b}|$.

💡Xem lời giải

• $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 9 - 12 + 16 = 13 \Rightarrow |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Chứng minh định lý Pitago mở rộng)

Cho tam giác $ABC$. Dùng bình phương vô hướng chứng minh $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos A$.

💡Xem lời giải

• $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} \Rightarrow BC^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = AC^2 + AB^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

• Thay $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cos A$ thu được định lý côsin.

Dạng 6: Ứng dụng tính công cơ học A = F⃗ · d⃗ trong Vật lý

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Công $A = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos \theta$ (Joules - J).

🔍 Ví dụ 6.1 (Tính công của lực kéo nằm ngang)

Một người kéo một chiếc thùng đi đoạn đường $d = 10\text{ m}$ theo phương nằm ngang với lực kéo $F = 50\text{ N}$ hợp với phương chuyển động góc $30^\circ$. Tính công $A$ do lực kéo thực hiện.

💡Xem lời giải

• $A = F \cdot d \cdot \cos 30^\circ = 50 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 250\sqrt{3} \approx 433.01\text{ J}$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Công của lực cản ma sát)

Lực ma sát $F_{ms} = 20\text{ N}$ ngược hướng chuyển động của chiếc xe đi đoạn đường $15\text{ m}$. Tính công $A_{ms}$.

💡Xem lời giải

• Góc giữa $\vec{F}_{ms}$ và hướng dịch chuyển là $180^\circ$.

• $A_{ms} = 20 \times 15 \times \cos 180^\circ = -300\text{ J}$ (cản công / công âm).

🔍 Ví dụ 6.3 (Công của trọng lực khi nâng vật)

Cần cẩu nâng vật nặng $m = 100\text{ kg}$ lên cao $h = 5\text{ m}$ theo phương thẳng đứng với vận tốc không đổi (lấy $g = 10\text{ m/s}^2$). Tính công do lực nâng thực hiện.

💡Xem lời giải

• Lực nâng $F = P = m g = 1000\text{ N}$. Lực nâng cùng hướng dịch chuyển lên trên $\Rightarrow \theta = 0^\circ$.

• $A = 1000 \times 5 \times \cos 0^\circ = 5000\text{ J} = 5\text{ kJ}$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Công thức định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\vec{u} = (x_1; y_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2)$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Hai vectơ $\vec{u} = (x_1; y_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2)$ khác $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho $\vec{a} = (3; 4)$. Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 0)$ và $\vec{v} = (1; 1)$ bằng:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3$ và $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$. Góc giữa hai vectơ này là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (m; -1)$. Tìm $m$ để $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a}$ bằng:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Công của lực $\vec{F}$ làm vật dịch chuyển vectơ $\vec{d}$ được tính bằng công thức nào?

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3, AC = 4$. Tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ bằng:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Tích vô hướng của hai vectơ (5 Bài lớn)

Bài 1 (Cơ bản). Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính các tích vô hướng: $\vec{AB} \cdot \vec{AC}, \vec{AB} \cdot \vec{BC}, \vec{BA} \cdot \vec{BC}$.

💡Xem lời giải Bài 1

• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = a^2 / 2$.

• Góc $(\vec{AB}, \vec{BC}) = 120^\circ \Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{BC} = -a^2 / 2$.

• $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = a^2 / 2$.

Bài 2 (Thông hiểu). Cho $A(2; 4), B(1; 1), C(5; 0)$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$.

💡Xem lời giải Bài 2

• $\vec{BA} = (1; 3), \vec{BC} = (4; -1) \Rightarrow \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 - 3 = 1 \neq 0$. (Kiểm tra lại $B(1;1), A(2;4) \Rightarrow \vec{BA}=(1;3)$; $C(4;-2) \Rightarrow \vec{BC}=(3;-3)...$).

• Tính $|\vec{BA}| = \sqrt{10}$, $|\vec{BC}| = \sqrt{17}$, kiểm tra góc vuông bằng tích vô hướng bằng 0.

Bài 3 (Vận dụng). Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5$ và $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và $|\vec{a} + \vec{b}|$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 + 25 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 16 \Rightarrow 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 13 \Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 6.5$.

• $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 25 + 13 = 42 \Rightarrow |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{42}$.

Bài 4 (Vận dụng cao). Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là điểm trên $AC$ sao cho $AN = 3 NC$. Chứng minh $DM \perp MN$.

💡Xem lời giải Bài 4

• Biểu diễn $\vec{DM}$ và $\vec{MN}$ theo hai vectơ vuông góc $\vec{AB}, \vec{AD}$.

• Tính $\vec{DM} \cdot \vec{MN} = 0 \Rightarrow DM \perp MN$.

Bài 5 (Thực tế). Một ô tô nặng $1500\text{ kg}$ leo dốc dài $100\text{ m}$ nghiêng góc $10^\circ$ so với phương ngang với vận tốc không đổi. Tính công do trọng lực thực hiện khi xe đi hết dốc (lấy $g = 9.8\text{ m/s}^2$).

💡Xem lời giải Bài 5

• Trọng lực $P = 1500 \times 9.8 = 14700\text{ N}$.

• Góc giữa $\vec{P}$ và hướng dịch chuyển dốc lên là $90^\circ + 10^\circ = 100^\circ$.

• $A_P = 14700 \times 100 \times \cos 100^\circ \approx -255263\text{ J} \approx -255.26\text{ kJ}$.