Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

I. Lý thuyết trọng tâm Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1. Tọa độ của vectơ & Tọa độ của điểm

⚡ Khái niệm Tọa độ trong hệ Oxy

• Vectơ đơn vị: Trên $Ox$ có $\vec{i} = (1; 0)$, trên $Oy$ có $\vec{j} = (0; 1)$. Ta có $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$ và $\vec{i} \perp \vec{j}$.

• Tọa độ của vectơ $\vec{u}$: $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \Leftrightarrow \vec{u} = (x; y)$.

• Tọa độ của điểm $M$: $\vec{OM} = x_M\vec{i} + y_M\vec{j} \Leftrightarrow M(x_M; y_M)$.

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

📌 Các biểu thức tọa độ cơ bản

Cho $\vec{u} = (x_1; y_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2)$:

• $\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$

• $\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$

• $k\vec{u} = (k x_1; k y_1)$

• Cùng phương: $\vec{u}$ cùng phương $\vec{v}$ (với $\vec{v} \ne \vec{0}$) $\Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ (nếu $x_2, y_2 \ne 0$).

3. Công thức trung điểm, trọng tâm & Độ dài đoạn thẳng

⚡ Tọa độ $\vec{AB}$, Trung điểm, Trọng tâm

• Vectơ $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

• Khoảng cách $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

• Trung điểm $I$ của $AB$: $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}, y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$.

• Trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Hệ tọa độ $Oxy$ biểu diễn điểm $M(3, 4)$ và vectơ $ec{OM} = 3ec{i} + 4ec{j}$.

💡 Mô phỏng 1: Vectơ OM trong hệ tọa độ Oxy phân tích theo i và j.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Tọa độ vectơ & Phép toán u⃗ ± v⃗, k u⃗

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Cộng/trừ hoành độ với hoành độ, tung độ với tung độ. Nhân số với từng tọa độ.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính tọa độ u + 2v)

Cho $\vec{u} = (2; -1)$ và $\vec{v} = (3; 4)$. Tìm tọa độ của $\vec{w} = \vec{u} + 2\vec{v}$.

💡Xem lời giải

• $2\vec{v} = (6; 8)$.

• $\vec{w} = (2 + 6; -1 + 8) = (8; 7)$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Chuyển đổi biểu thức i, j sang tọa độ)

Cho $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j}$ và $\vec{b} = -2\vec{j}$. Tìm tọa độ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{a} = (3; -5)$.

• $\vec{b} = 0\vec{i} - 2\vec{j} = (0; -2)$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Phân tích vectơ theo 2 vectơ tọa độ)

Cho $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = (-3; 1)$ và $\vec{c} = (-1; 5)$. Tìm 2 số $m, n$ sao cho $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$.

💡Xem lời giải

• Lập hệ: $\begin{cases} m - 3n = -1 \\ 2m + n = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = 2 \\ n = 1 \end{cases}$.

• $\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}$.

Dạng 2: Tọa độ vectơ AB⃗ & Độ dài đoạn thẳng AB

📌 Phương pháp giải Dạng 2

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) \Rightarrow AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tính độ dài AB)

Cho $A(1; 3)$ và $B(5; 6)$. Tính tọa độ $\vec{AB}$ và độ dài đoạn $AB$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} = (5-1; 6-3) = (4; 3)$.

• $AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Tìm tọa độ B khi biết A và AB)

Cho $A(-2; 1)$ và $\vec{AB} = (3; 4)$. Tìm tọa độ điểm $B$.

💡Xem lời giải

• $x_B = x_A + 3 = -2 + 3 = 1$.

• $y_B = y_A + 4 = 1 + 4 = 5 \Rightarrow B(1; 5)$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Chu vi tam giác)

Cho tam giác $ABC$ có $A(0; 0), B(3; 0), C(0; 4)$. Tính chu vi tam giác $ABC$.

💡Xem lời giải

• $AB = 3, AC = 4, BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

• Chu vi $= 3 + 4 + 5 = 12$.

Dạng 3: Tọa độ trung điểm I & Trọng tâm G

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Trung điểm: $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}, y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$. Trọng tâm: $x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tìm trung điểm và trọng tâm)

Cho $A(1; 2), B(3; 6), C(5; 1)$. Tìm tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$.

💡Xem lời giải

• $I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+6}{2}\right) = I(2; 4)$.

• $G\left(\frac{1+3+5}{3}; \frac{2+6+1}{3}\right) = G(3; 3)$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Tìm đỉnh C khi biết A, B và G)

Cho $A(2; 1), B(-1; 3)$ và trọng tâm $G(1; 2)$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.

💡Xem lời giải

• $x_C = 3x_G - x_A - x_B = 3(1) - 2 - (-1) = 2$.

• $y_C = 3y_G - y_A - y_B = 3(2) - 1 - 3 = 2 \Rightarrow C(2; 2)$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Tìm đỉnh B khi biết trung điểm I)

Cho $A(4; -2)$ và trung điểm $I(1; 3)$. Tìm tọa độ điểm $B$.

💡Xem lời giải

• $x_B = 2x_I - x_A = 2(1) - 4 = -2$.

• $y_B = 2y_I - y_A = 2(3) - (-2) = 8 \Rightarrow B(-2; 8)$.

Dạng 4: Tìm tọa độ đỉnh thứ 4 của hình bình hành

📌 Phương pháp giải Dạng 4

$ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}$ (hoặc $\vec{AD} = \vec{BC}$).

🔍 Ví dụ 4.1 (Tìm đỉnh D của HBH ABCD)

Cho $A(1; 1), B(3; 4), C(6; 5)$. Tìm tọa độ đỉnh $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} = (2; 3)$. Gọi $D(x_D; y_D) \Rightarrow \vec{DC} = (6 - x_D; 5 - y_D)$.

• $ABCD$ là HBH $\Leftrightarrow \vec{DC} = \vec{AB} \Leftrightarrow \begin{cases} 6 - x_D = 2 \\ 5 - y_D = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_D = 4 \\ y_D = 2 \end{cases}$.

• $D(4; 2)$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Tìm đỉnh D bằng công thức trung điểm đường chéo)

Giải Ví dụ 4.1 bằng phương pháp trung điểm đường chéo.

💡Xem lời giải

• Trung điểm $I$ của $AC$: $I(7/2; 3)$.

• $D$ thỏa $x_D = 2x_I - x_B = 7 - 3 = 4, y_D = 2y_I - y_B = 6 - 4 = 2 \Rightarrow D(4; 2)$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Tìm điểm D để ABDC là HBH)

Cho $A(0; 1), B(2; 3), C(4; 0)$. Tìm $D$ sao cho $ABDC$ là hình bình hành (chú ý thứ tự đỉnh).

💡Xem lời giải

• $ABDC$ là HBH $\Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{CD}$.

• $\vec{AB} = (2; 2)$. $\vec{CD} = (x_D - 4; y_D - 0) \Rightarrow \begin{cases} x_D - 4 = 2 \\ y_D = 2 \end{cases} \Rightarrow D(6; 2)$.

Dạng 5: Điều kiện cùng phương & 3 điểm thẳng hàng

📌 Phương pháp giải Dạng 5

$\vec{AB}$ cùng phương $\vec{AC} \Leftrightarrow \frac{x_B - x_A}{x_C - x_A} = \frac{y_B - y_A}{y_C - y_A}$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

Chứng minh 3 điểm $A(1; 2), B(3; 6), C(5; 10)$ thẳng hàng.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} = (2; 4)$, $\vec{AC} = (4; 8)$.

• Tỉ số $\frac{4}{2} = \frac{8}{4} = 2 \Rightarrow \vec{AC} = 2\vec{AB} \Rightarrow A, B, C$ thẳng hàng.

🔍 Ví dụ 5.2 (Tìm m để 3 điểm thẳng hàng)

Tìm $m$ để 3 điểm $A(2; 1), B(4; 5), C(1; m)$ thẳng hàng.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} = (2; 4)$, $\vec{AC} = (-1; m - 1)$.

• Thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{-1}{2} = \frac{m - 1}{4} \Rightarrow m - 1 = -2 \Rightarrow m = -1$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Tìm điểm M trên trục Ox sao cho M, A, B thẳng hàng)

Cho $A(1; 3), B(4; 9)$. Tìm điểm $M \in Ox$ sao cho $M, A, B$ thẳng hàng.

💡Xem lời giải

• $M \in Ox \Rightarrow M(x; 0)$. $\vec{MA} = (1 - x; 3)$, $\vec{AB} = (3; 6)$.

• Thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{1 - x}{3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow 1 - x = 1.5 \Rightarrow x = -0.5$. Tọa độ $M(-0.5; 0)$.

Dạng 6: Ứng dụng tọa độ vectơ Robot & Định vị GPS

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Vectơ dịch chuyển $\vec{d} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$. Khoảng cách di chuyển là độ dài $|ec{d}|$.

🔍 Ví dụ 6.1 (Tọa độ di chuyển của Robot)

Một robot tự hành di chuyển từ điểm $A(1; 2)$ đến $B(5; 7)$ rồi tiếp tục từ $B$ đến $C(9; 10)$. Tìm tọa độ tổng vectơ dịch chuyển $\vec{AC}$ và quãng đường thẳng từ $A$ tới $C$.

💡Xem lời giải

• Vectơ dịch chuyển tổng $\vec{AC} = (9-1; 10-2) = (8; 8)$.

• Quãng đường thẳng $AC = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2} \approx 11.31$ đơn vị chiều dài.

🔍 Ví dụ 6.2 (Định vị vệ tinh GPS)

Hai trạm thu sóng GPS ở tọa độ $S_1(0; 0)$ và $S_2(10; 0)$. Một thiết bị gửi tín hiệu từ $M(x; y)$ cách $S_1$ một khoảng $5\text{ km}$ và cách $S_2$ một khoảng $5\sqrt{2}\text{ km}$ (ở vùng $y > 0$). Xác định tọa độ $M$.

💡Xem lời giải

• $x^2 + y^2 = 25$ và $(x-10)^2 + y^2 = 50$.

• Trừ hai vế: $20x - 100 = -25 \Rightarrow 20x = 75 \Rightarrow x = 3.75$.

• $y = \sqrt{25 - (3.75)^2} = \sqrt{10.9375} \approx 3.31 \Rightarrow M(3.75; 3.31)$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Vận tốc giọt mưa rơi xiên)

Vectơ vận tốc giọt mưa rơi có tọa độ $\vec{v} = (3; -4)\text{ m/s}$ (với $Ox$ nằm ngang, $Oy$ thẳng đứng lên trên). Tính tốc độ rơi của giọt mưa và góc rơi so với phương thẳng đứng.

💡Xem lời giải

• Tốc độ $v = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5\text{ m/s}$.

• Góc rơi $\tan \alpha = \frac{3}{4} \Rightarrow \alpha \approx 36.87^\circ$ so với phương thẳng đứng.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Trong hệ tọa độ $Oxy$, vectơ đơn vị trên trục $Ox$ và $Oy$ lần lượt là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho $\vec{u} = (2; -3)$ và $\vec{v} = (1; 4)$. Tọa độ của vectơ $\vec{u} + \vec{v}$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho điểm $A(1; 2)$ và $B(4; 6)$. Tọa độ của vectơ $\vec{AB}$ là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho điểm $A(2; 4)$ và $B(6; 8)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 2), B(3; 4), C(5; 0)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Hai vectơ $\vec{u} = (x_1; y_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2)$ (với $x_2, y_2 \ne 0$) cùng phương khi và chỉ khi:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Độ dài của vectơ $\vec{u} = (3; -4)$ bằng:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (-2; m)$. Tìm $m$ để $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho 3 điểm $A(1; 1), B(2; 3), C(4; 7)$. Khẳng định nào sau đây **ĐÚNG**?

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vị trí của robot chuyển động từ $A(2; 3)$ đến $B(8; 11)$ có vectơ dịch chuyển là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (5 Bài lớn)

Bài 1 (Cơ bản). Cho $A(1; 2), B(3; 8), C(-1; 4)$. Tìm tọa độ $\vec{AB}, \vec{BC}$, trung điểm $M$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$.

💡Xem lời giải Bài 1

• $\vec{AB} = (2; 6), \vec{BC} = (-4; -4)$.

• $M(2; 5), G(1; 4.67)$.

Bài 2 (Thông hiểu). Cho $A(-1; 3), B(2; 1), C(4; 7)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

💡Xem lời giải Bài 2

• $\vec{AB} = (3; -2) = \vec{DC} = (4 - x_D; 7 - y_D) \Rightarrow D(1; 9)$.

Bài 3 (Vận dụng). Cho $A(1; -2), B(3; 2)$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho tam giác $ABM$ cân tại $M$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $M(0; y) \Rightarrow MA^2 = MB^2 \Leftrightarrow 1 + (y+2)^2 = 9 + (y-2)^2 \Leftrightarrow y^2+4y+5 = y^2-4y+13 \Leftrightarrow 8y = 8 \Rightarrow y = 1$.

• Tọa độ $M(0; 1)$.

Bài 4 (Vận dụng cao). Cho 3 điểm $A(2; 5), B(1; 1), C(3; 3)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $3\vec{DA} - 2\vec{DB} + \vec{DC} = \vec{0}$.

💡Xem lời giải Bài 4

• $3(2-x_D) - 2(1-x_D) + (3-x_D) = 0 \Rightarrow 6 - 2 + 3 - 2x_D = 0 \Rightarrow x_D = 3.5$.

• $3(5-y_D) - 2(1-y_D) + (3-y_D) = 0 \Rightarrow 15 - 2 + 3 - 2y_D = 0 \Rightarrow y_D = 8$.

• Tọa độ $D(3.5; 8)$.

Bài 5 (Thực tế). Một drone đang ở tọa độ $A(10; 20; 5)$ di chuyển đến $B(50; 80; 25)$ (đơn vị: mét). Tìm tọa độ vectơ dịch chuyển $\vec{d} = \vec{AB}$ và tính khoảng cách drone bay được.

💡Xem lời giải Bài 5

• Vectơ dịch chuyển $\vec{d} = (40; 60; 20)$.

• Khoảng cách $AB = \sqrt{40^2 + 60^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 3600 + 400} = \sqrt{5600} \approx 74.83\text{ m}$.