Ôn chương 3 - Toán 10 — Sách Toán THPT

I. Hệ thống lý thuyết trọng tâm Chương III

⚡ Hệ thống công thức Hệ thức lượng trong tam giác

GTLG góc bù: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$; $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
Định lý Côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \Rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
Định lý Sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
Đường trung tuyến: $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$.
Các công thức diện tích: $S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{a b c}{4R} = p r = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Hình vẽ tổng quan tam giác $ABC$ và các yếu tố đường trung tuyến $m_a$, đường cao $h_a$.

💡 Mô phỏng 1: Đường cao h_a (nét đứt) và trung tuyến m_a (màu cam).

III. Các dạng toán ôn tập tổng hợp (Mỗi dạng kèm 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Rút gọn biểu thức lượng giác từ 0° đến 180°

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Áp dụng các cặp góc bù nhau $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ và $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính giá trị tổng cosin bù)

Tính $A = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ$.

💡Xem lời giải

• $\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ, \cos 140^\circ = -\cos 40^\circ$.

• $A = (\cos 20^\circ - \cos 20^\circ) + (\cos 40^\circ - \cos 40^\circ) = 0$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tính sin khi biết cos góc tù)

Cho $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$. Tính $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$.

💡Xem lời giải

• $\sin^2 \alpha = 1 - 9/25 = 16/25 \Rightarrow \sin \alpha = 4/5$ (do $\sin \alpha \ge 0$).

• $\tan \alpha = \frac{4/5}{-3/5} = -4/3$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Rút gọn biểu thức lượng giác góc tam giác)

Cho tam giác $ABC$. Rút gọn $B = \sin(A + B) - \sin C$.

💡Xem lời giải

• $\sin(A + B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C \Rightarrow B = \sin C - \sin C = 0$.

Dạng 2: Giải tam giác bằng Định lý Côsin & Định lý Sin

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Sử dụng kết hợp Định lý Côsin và Định lý Sin để tìm các yếu tố còn lại của tam giác.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tính cạnh và góc còn lại)

Cho tam giác $ABC$ có $b = 8, c = 5, \widehat{A} = 60^\circ$. Tính cạnh $a$ và bán kính $R$.

💡Xem lời giải

• $a^2 = 64 + 25 - 2(8)(5)(0.5) = 49 \Rightarrow a = 7$.

• $2R = \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\sqrt{3}/2} = \frac{14}{\sqrt{3}} \Rightarrow R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Giải tam giác khi biết 2 góc)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 12, \widehat{A} = 45^\circ, \widehat{B} = 60^\circ$. Tính cạnh $b$ và góc $C$.

💡Xem lời giải

• $\widehat{C} = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

• $b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{12 \cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{6}$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Tính các góc từ 3 cạnh)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 4, b = 5, c = 6$. Tính số đo góc $B$.

💡Xem lời giải

• $\cos B = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2(4)(6)} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} = 0.5625$.

• $\widehat{B} \approx 55.77^\circ$.

Dạng 3: Tính diện tích tam giác & bán kính R, r

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Dùng công thức Heron $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, rồi suy ra $r = S/p$ và $R = abc/(4S)$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tính S, R, r của tam giác 3, 4, 5)

Cho tam giác $ABC$ vuông có 3 cạnh $a = 3, b = 4, c = 5$. Tính $S, R, r$.

💡Xem lời giải

• $S = 0.5 \times 3 \times 4 = 6$.

• $R = c/2 = 2.5$. $p = (3+4+5)/2 = 6 \Rightarrow r = S/p = 6/6 = 1$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Diện tích tam giác có góc tù)

Cho tam giác $ABC$ có $b = 4, c = 6, \widehat{A} = 150^\circ$. Tính diện tích $S$.

💡Xem lời giải

• $S = \frac{1}{2}(4)(6)\sin 150^\circ = 12 \times 0.5 = 6$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Chiều cao ha của tam giác)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 10$ và diện tích $S = 40$. Tính đường cao $h_a$.

💡Xem lời giải

• $h_a = \frac{2S}{a} = \frac{80}{10} = 8$.

Dạng 4: Độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Áp dụng $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Tính ma của tam giác 5, 6, 7)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 5, b = 6, c = 7$. Tính trung tuyến $m_a$.

💡Xem lời giải

• $m_a^2 = \frac{2(36 + 49) - 25}{4} = \frac{170 - 25}{4} = \frac{145}{4} \Rightarrow m_a = \frac{\sqrt{145}}{2}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Tính mb của tam giác vuông)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $b = 6, c = 8$. Tính trung tuyến $m_b$.

💡Xem lời giải

• Cạnh $a = \sqrt{36+64} = 10$.

• $m_b = \sqrt{c^2 + (b/2)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$.

🔍 Ví dụ 4.3 (So sánh độ dài 3 trung tuyến)

Cho tam giác $ABC$ có $a < b < c$. Chứng minh $m_a > m_b > m_c$.

💡Xem lời giải

• Trong tam giác, cạnh nào nhỏ hơn thì đường trung tuyến ứng với cạnh đó lớn hơn. Vì $a < b < c \Rightarrow m_a > m_b > m_c$.

Dạng 5: Nhận dạng tam giác & Đẳng thức lượng giác

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Chuyển đổi yếu tố góc sang cạnh theo định lý sin/côsin để nhận dạng tính chất tam giác.

🔍 Ví dụ 5.1 (Nhận dạng tam giác có a = 2b cos C)

Chứng minh tam giác $ABC$ có $a = 2b \cos C$ là tam giác cân tại $A$.

💡Xem lời giải

• Thay $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$: $a = 2b \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{a}$.

• $a^2 = a^2 + b^2 - c^2 \Leftrightarrow b^2 = c^2 \Leftrightarrow b = c$. Tam giác cân tại $A$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Nhận dạng tam giác có b + c = 2a)

Chứng minh tam giác $ABC$ có $\sin B + \sin C = 2\sin A$ có 3 cạnh lập thành cấp số cộng.

💡Xem lời giải

• Thay $\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.

• $\frac{b}{2R} + \frac{c}{2R} = 2 \frac{a}{2R} \Leftrightarrow b + c = 2a$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Nhận dạng tam giác vuông)

Tam giác $ABC$ có $S = \frac{1}{4}(a^2 + b^2)$ là tam giác gì?

💡Xem lời giải

• $S = \frac{1}{2}ab \sin C \le \frac{1}{2}ab \le \frac{1}{4}(a^2 + b^2)$. Dấu bằng xảy ra khi $a = b$ và $\sin C = 1 \Rightarrow C = 90^\circ$.

• Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.

Dạng 6: Bài toán thực tế Đo chiều cao & Khoảng cách

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Lập sơ đồ hình vẽ tam giác và dùng định lý Sin/Côsin giải bài toán thực tế.

🔍 Ví dụ 6.1 (Đo khoảng cách giữa 2 hòn đảo)

Từ bờ biển tại điểm C, người ta đo được khoảng cách tới hòn đảo A là $CA = 8\text{ km}$, hòn đảo B là $CB = 12\text{ km}$ và góc $\widehat{ACB} = 120^\circ$. Tính khoảng cách $AB$ giữa hai hòn đảo.

💡Xem lời giải

• $AB^2 = 8^2 + 12^2 - 2(8)(12)\cos 120^\circ = 64 + 144 - 192(-0.5) = 208 + 96 = 304$.

• $AB = \sqrt{304} = 4\sqrt{19} \approx 17.44\text{ km}$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Đo chiều cao cây cổ thụ)

Một cây đứng thẳng trên sườn đồi nghiêng góc $10^\circ$ so với phương nằm ngang. Từ gốc đồi cách chân cây $20\text{ m}$, nhìn thấy đỉnh cây dưới góc $40^\circ$ so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của cây.

💡Xem lời giải

• Chiều cao cây $h \approx 11.47\text{ m}$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Đo chiều rộng con sông)

Muốn đo chiều rộng con sông, quan sát viên tại A và B cách nhau $100\text{ m}$ cùng nhìn một điểm C bên kia sông dưới các góc $\widehat{CAB} = 50^\circ$ và $\widehat{CBA} = 70^\circ$. Tính chiều rộng con sông (đường cao $CH$).

💡Xem lời giải

• $\widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$.

• $AC = \frac{AB \sin 70^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 108.51\text{ m}$.

• Chiều rộng sông $CH = AC \cdot \sin 50^\circ \approx 83.12\text{ m}$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho góc tù $\alpha$. Khẳng định nào sau đây **SAI**?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 8, c = 9$. Số đo góc lớn nhất của tam giác xấp xỉ bằng:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Tam giác $ABC$ có $b = 5, c = 8, \widehat{A} = 60^\circ$. Độ dài cạnh $a$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Tam giác $ABC$ có $a = 4, \widehat{A} = 30^\circ$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a = 5, b = 12, c = 13$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Tính $P = \sin 150^\circ + \cos 120^\circ$.

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Đường trung tuyến $m_c$ của tam giác $ABC$ được tính theo công thức nào?

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây **ĐÚNG**?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 8, c = 10$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Trong bài toán đo đạc thực tế, nếu biết 2 cạnh và góc kẹp giữa của tam giác, ta dùng định lý nào để tìm cạnh còn lại?

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương III

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Chương III

📝 Bài tập tự luận Ôn tập Chương III (5 Bài lớn)

Bài 1. Rút gọn $A = \frac{\sin 120^\circ + \cos 150^\circ}{\tan 135^\circ + \cot 45^\circ}$.

💡Xem lời giải Bài 1

• Tử số: $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Mẫu số: $-1 + 1 = 0 \Rightarrow$ Dạng vô định nhưng $\sin 120^\circ + \cos 150^\circ = 0 \Rightarrow A = 0$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 8, c = 9$. Tính diện tích $S$, bán kính ngoại tiếp $R$, bán kính nội tiếp $r$ và góc lớn nhất của tam giác.

💡Xem lời giải Bài 2

• $p = 12$. $S = \sqrt{12(5)(4)(3)} = 12\sqrt{5}$.

• $R = \frac{504}{48\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10}$. $r = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5}$.

• Góc lớn nhất $C$: $\cos C = 2/7 \Rightarrow C \approx 73.4^\circ$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $b = 6, c = 10, m_a = 7$. Tính độ dài cạnh $a$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} \Rightarrow 49 = \frac{2(36 + 100) - a^2}{4} \Rightarrow 196 = 272 - a^2 \Rightarrow a^2 = 76 \Rightarrow a = 2\sqrt{19}$.

Bài 4. Chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $C$ nếu thỏa mãn $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\cos B}{\cos A}$.

💡Xem lời giải Bài 4

• $\sin A \cos A = \sin B \cos B \Leftrightarrow \sin 2A = \sin 2B \Leftrightarrow 2A = 2B$ (do $A, B < 90^\circ$) hoặc $2A + 2B = 180^\circ$.

• $A = B \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ cân tại $C$.

Bài 5. Hai đài quan sát A và B cách nhau $10\text{ km}$ trên một đường bờ biển thẳng. Cùng lúc nhìn thấy một con tàu C ở ngoài biển với $\widehat{CAB} = 75^\circ, \widehat{CBA} = 60^\circ$. Tính khoảng cách từ con tàu C tới bờ biển.

💡Xem lời giải Bài 5

• $\widehat{ACB} = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$.

• $AC = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = 5\sqrt{6}\text{ km}$.

• Khoảng cách tới bờ $h = AC \sin 75^\circ = 5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{30 + 10\sqrt{3}}{4} \approx 11.83\text{ km}$.