Ôn chương 3 - Toán 10 — Sách Toán THPT

I. Hệ thống lý thuyết trọng tâm Chương III

⚡ Hệ thống công thức Hệ thức lượng trong tam giác

GTLG góc bù: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$; $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
Định lý Côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \Rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
Định lý Sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
Đường trung tuyến: $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$.
Các công thức diện tích: $S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{a b c}{4R} = p r = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Hình vẽ tổng quan tam giác $ABC$ và các yếu tố đường trung tuyến $m_a$, đường cao $h_a$.

💡 Mô phỏng 1: Đường cao h_a (nét đứt) và trung tuyến m_a (màu cam).

III. Các dạng toán ôn tập tổng hợp (Mỗi dạng kèm 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Rút gọn biểu thức lượng giác từ 0° đến 180°

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Áp dụng các cặp góc bù nhau $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ và $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính giá trị tổng cosin bù)

Tính $A = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ$.

💡Xem lời giải

• $\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ, \cos 140^\circ = -\cos 40^\circ$.

• $A = (\cos 20^\circ - \cos 20^\circ) + (\cos 40^\circ - \cos 40^\circ) = 0$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tính sin khi biết cos góc tù)

Cho $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$. Tính $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$.

💡Xem lời giải

• $\sin^2 \alpha = 1 - 9/25 = 16/25 \Rightarrow \sin \alpha = 4/5$ (do $\sin \alpha \ge 0$).

• $\tan \alpha = \frac{4/5}{-3/5} = -4/3$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Rút gọn biểu thức lượng giác góc tam giác)

Cho tam giác $ABC$. Rút gọn $B = \sin(A + B) - \sin C$.

💡Xem lời giải

• $\sin(A + B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C \Rightarrow B = \sin C - \sin C = 0$.

Dạng 2: Giải tam giác bằng Định lý Côsin & Định lý Sin

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Sử dụng kết hợp Định lý Côsin và Định lý Sin để tìm các yếu tố còn lại của tam giác.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tính cạnh và góc còn lại)

Cho tam giác $ABC$ có $b = 8, c = 5, \widehat{A} = 60^\circ$. Tính cạnh $a$ và bán kính $R$.

💡Xem lời giải

• $a^2 = 64 + 25 - 2(8)(5)(0.5) = 49 \Rightarrow a = 7$.

• $2R = \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\sqrt{3}/2} = \frac{14}{\sqrt{3}} \Rightarrow R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Giải tam giác khi biết 2 góc)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 12, \widehat{A} = 45^\circ, \widehat{B} = 60^\circ$. Tính cạnh $b$ và góc $C$.

💡Xem lời giải

• $\widehat{C} = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

• $b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{12 \cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{6}$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Tính các góc từ 3 cạnh)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 4, b = 5, c = 6$. Tính số đo góc $B$.

💡Xem lời giải

• $\cos B = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2(4)(6)} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} = 0.5625$.

• $\widehat{B} \approx 55.77^\circ$.

Dạng 3: Tính diện tích tam giác & bán kính R, r

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Dùng công thức Heron $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, rồi suy ra $r = S/p$ và $R = abc/(4S)$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tính S, R, r của tam giác 3, 4, 5)

Cho tam giác $ABC$ vuông có 3 cạnh $a = 3, b = 4, c = 5$. Tính $S, R, r$.

💡Xem lời giải

• $S = 0.5 \times 3 \times 4 = 6$.

• $R = c/2 = 2.5$. $p = (3+4+5)/2 = 6 \Rightarrow r = S/p = 6/6 = 1$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Diện tích tam giác có góc tù)

Cho tam giác $ABC$ có $b = 4, c = 6, \widehat{A} = 150^\circ$. Tính diện tích $S$.

💡Xem lời giải

• $S = \frac{1}{2}(4)(6)\sin 150^\circ = 12 \times 0.5 = 6$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Chiều cao ha của tam giác)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 10$ và diện tích $S = 40$. Tính đường cao $h_a$.

💡Xem lời giải

• $h_a = \frac{2S}{a} = \frac{80}{10} = 8$.

Dạng 4: Độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Áp dụng $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Tính ma của tam giác 5, 6, 7)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 5, b = 6, c = 7$. Tính trung tuyến $m_a$.

💡Xem lời giải

• $m_a^2 = \frac{2(36 + 49) - 25}{4} = \frac{170 - 25}{4} = \frac{145}{4} \Rightarrow m_a = \frac{\sqrt{145}}{2}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Tính mb của tam giác vuông)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $b = 6, c = 8$. Tính trung tuyến $m_b$.

💡Xem lời giải

• Cạnh $a = \sqrt{36+64} = 10$.

• $m_b = \sqrt{c^2 + (b/2)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$.

🔍 Ví dụ 4.3 (So sánh độ dài 3 trung tuyến)

Cho tam giác $ABC$ có $a < b < c$. Chứng minh $m_a > m_b > m_c$.

💡Xem lời giải

• Trong tam giác, cạnh nào nhỏ hơn thì đường trung tuyến ứng với cạnh đó lớn hơn. Vì $a < b < c \Rightarrow m_a > m_b > m_c$.

Dạng 5: Nhận dạng tam giác & Đẳng thức lượng giác

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Chuyển đổi yếu tố góc sang cạnh theo định lý sin/côsin để nhận dạng tính chất tam giác.

🔍 Ví dụ 5.1 (Nhận dạng tam giác có a = 2b cos C)

Chứng minh tam giác $ABC$ có $a = 2b \cos C$ là tam giác cân tại $A$.

💡Xem lời giải

• Thay $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$: $a = 2b \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{a}$.

• $a^2 = a^2 + b^2 - c^2 \Leftrightarrow b^2 = c^2 \Leftrightarrow b = c$. Tam giác cân tại $A$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Nhận dạng tam giác có b + c = 2a)

Chứng minh tam giác $ABC$ có $\sin B + \sin C = 2\sin A$ có 3 cạnh lập thành cấp số cộng.

💡Xem lời giải

• Thay $\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.

• $\frac{b}{2R} + \frac{c}{2R} = 2 \frac{a}{2R} \Leftrightarrow b + c = 2a$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Nhận dạng tam giác vuông)

Tam giác $ABC$ có $S = \frac{1}{4}(a^2 + b^2)$ là tam giác gì?

💡Xem lời giải

• $S = \frac{1}{2}ab \sin C \le \frac{1}{2}ab \le \frac{1}{4}(a^2 + b^2)$. Dấu bằng xảy ra khi $a = b$ và $\sin C = 1 \Rightarrow C = 90^\circ$.

• Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.

Dạng 6: Bài toán thực tế Đo chiều cao & Khoảng cách

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Lập sơ đồ hình vẽ tam giác và dùng định lý Sin/Côsin giải bài toán thực tế.

🔍 Ví dụ 6.1 (Đo khoảng cách giữa 2 hòn đảo)

Từ bờ biển tại điểm C, người ta đo được khoảng cách tới hòn đảo A là $CA = 8\text{ km}$, hòn đảo B là $CB = 12\text{ km}$ và góc $\widehat{ACB} = 120^\circ$. Tính khoảng cách $AB$ giữa hai hòn đảo.

💡Xem lời giải

• $AB^2 = 8^2 + 12^2 - 2(8)(12)\cos 120^\circ = 64 + 144 - 192(-0.5) = 208 + 96 = 304$.

• $AB = \sqrt{304} = 4\sqrt{19} \approx 17.44\text{ km}$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Đo chiều cao cây cổ thụ)

Một cây đứng thẳng trên sườn đồi nghiêng góc $10^\circ$ so với phương nằm ngang. Từ gốc đồi cách chân cây $20\text{ m}$, nhìn thấy đỉnh cây dưới góc $40^\circ$ so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của cây.

💡Xem lời giải

• Chiều cao cây $h \approx 11.47\text{ m}$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Đo chiều rộng con sông)

Muốn đo chiều rộng con sông, quan sát viên tại A và B cách nhau $100\text{ m}$ cùng nhìn một điểm C bên kia sông dưới các góc $\widehat{CAB} = 50^\circ$ và $\widehat{CBA} = 70^\circ$. Tính chiều rộng con sông (đường cao $CH$).

💡Xem lời giải

• $\widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$.

• $AC = \frac{AB \sin 70^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 108.51\text{ m}$.

• Chiều rộng sông $CH = AC \cdot \sin 50^\circ \approx 83.12\text{ m}$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho góc tù $\alpha$. Khẳng định nào sau đây **SAI**?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 8, c = 9$. Số đo góc lớn nhất của tam giác xấp xỉ bằng:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Tam giác $ABC$ có $b = 5, c = 8, \widehat{A} = 60^\circ$. Độ dài cạnh $a$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Tam giác $ABC$ có $a = 4, \widehat{A} = 30^\circ$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a = 5, b = 12, c = 13$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Tính $P = \sin 150^\circ + \cos 120^\circ$.

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Đường trung tuyến $m_c$ của tam giác $ABC$ được tính theo công thức nào?

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây **ĐÚNG**?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 8, c = 10$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Trong bài toán đo đạc thực tế, nếu biết 2 cạnh và góc kẹp giữa của tam giác, ta dùng định lý nào để tìm cạnh còn lại?

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Chương III

📝 Bài tập tự luận Ôn tập Chương III (5 Bài lớn)

Bài 1. Rút gọn $A = \frac{\sin 120^\circ + \cos 150^\circ}{\tan 135^\circ + \cot 45^\circ}$.

💡Xem lời giải Bài 1

• Tử số: $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Mẫu số: $-1 + 1 = 0 \Rightarrow$ Dạng vô định nhưng $\sin 120^\circ + \cos 150^\circ = 0 \Rightarrow A = 0$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 8, c = 9$. Tính diện tích $S$, bán kính ngoại tiếp $R$, bán kính nội tiếp $r$ và góc lớn nhất của tam giác.

💡Xem lời giải Bài 2

• $p = 12$. $S = \sqrt{12(5)(4)(3)} = 12\sqrt{5}$.

• $R = \frac{504}{48\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10}$. $r = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5}$.

• Góc lớn nhất $C$: $\cos C = 2/7 \Rightarrow C \approx 73.4^\circ$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $b = 6, c = 10, m_a = 7$. Tính độ dài cạnh $a$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} \Rightarrow 49 = \frac{2(36 + 100) - a^2}{4} \Rightarrow 196 = 272 - a^2 \Rightarrow a^2 = 76 \Rightarrow a = 2\sqrt{19}$.

Bài 4. Chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $C$ nếu thỏa mãn $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\cos B}{\cos A}$.

💡Xem lời giải Bài 4

• $\sin A \cos A = \sin B \cos B \Leftrightarrow \sin 2A = \sin 2B \Leftrightarrow 2A = 2B$ (do $A, B < 90^\circ$) hoặc $2A + 2B = 180^\circ$.

• $A = B \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ cân tại $C$.

Bài 5. Hai đài quan sát A và B cách nhau $10\text{ km}$ trên một đường bờ biển thẳng. Cùng lúc nhìn thấy một con tàu C ở ngoài biển với $\widehat{CAB} = 75^\circ, \widehat{CBA} = 60^\circ$. Tính khoảng cách từ con tàu C tới bờ biển.

💡Xem lời giải Bài 5

• $\widehat{ACB} = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$.

• $AC = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = 5\sqrt{6}\text{ km}$.

• Khoảng cách tới bờ $h = AC \sin 75^\circ = 5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{30 + 10\sqrt{3}}{4} \approx 11.83\text{ km}$.

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương III

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm