Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

I. Lý thuyết trọng tâm Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lý Côsin & Hệ quả

⚡ Định lý Côsin trong tam giác $ABC$

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Hệ quả tính góc: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$, $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.

2. Định lý Sin & Bán kính R

⚡ Định lý Sin

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

3. Công thức tính diện tích & Bán kính nội tiếp r

📌 Các công thức diện tích tam giác $S$

1. $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$

2. $S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C$

3. $S = \frac{a b c}{4R}$

4. $S = p r$ (với $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp)

5. Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Tam giác $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp bán kính $R$ và đường tròn nội tiếp bán kính $r$.

💡 Mô phỏng 1: Đường tròn ngoại tiếp (xanh dương) và đường tròn nội tiếp (đỏ).

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Định lý Côsin — Tính cạnh & tính góc tam giác

📌 Phương pháp giải Dạng 1

• Biết 2 cạnh và góc kẹp giữa $\Rightarrow$ dùng $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ tính cạnh còn lại.

• Biết 3 cạnh $\Rightarrow$ dùng $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ tính góc.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính độ dài cạnh thứ 3)

Cho tam giác $ABC$ có $b = 6\text{ cm}, c = 8\text{ cm}, \widehat{A} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $a$.

💡Xem lời giải

• $a^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8)\cos 60^\circ = 36 + 64 - 96(0.5) = 100 - 48 = 52$.

• $a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\text{ cm}$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tính số đo góc khi biết 3 cạnh)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 5, c = 8$. Tính số đo góc $A$.

💡Xem lời giải

• $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2(5)(8)} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.

• $\widehat{A} = 60^\circ$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Tính góc tù trong tam giác)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 3, c = 5$. Tính số đo góc $A$.

💡Xem lời giải

• $\cos A = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$.

• $\widehat{A} = 120^\circ$.

Dạng 2: Định lý Sin — Tính cạnh, tính góc & bán kính R

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Áp dụng tỉ lệ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tính bán kính R)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 10\text{ cm}, \widehat{A} = 45^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

💡Xem lời giải

• $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sqrt{2}/2} = 10\sqrt{2}$.

• $R = 5\sqrt{2}\text{ cm}$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Tính độ dài cạnh khi biết 2 góc)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, \widehat{A} = 60^\circ, \widehat{B} = 45^\circ$. Tính độ dài cạnh $b$.

💡Xem lời giải

• $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{6 \cdot (\sqrt{2}/2)}{\sqrt{3}/2} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Tính góc B của tam giác)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 4, b = 4\sqrt{3}, \widehat{A} = 30^\circ$. Tính số đo góc $B$.

💡Xem lời giải

• $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{4\sqrt{3} \cdot (1/2)}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $\widehat{B} = 60^\circ$ hoặc $\widehat{B} = 120^\circ$.

Dạng 3: Các công thức tính diện tích tam giác

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Tùy theo giả thiết (2 cạnh + góc kẹp, 3 cạnh, hoặc bán kính $R, r$), lựa chọn công thức thích hợp.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tính diện tích theo công thức Heron)

Tính diện tích tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a = 13, b = 14, c = 15$.

💡Xem lời giải

• Nửa chu vi $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.

• $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Tính diện tích và bán kính r)

Trong Ví dụ 3.1, tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$ và bán kính $R$.

💡Xem lời giải

• $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$.

• $R = \frac{a b c}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8.125$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Diện tích theo 2 cạnh và góc kẹp)

Cho tam giác $ABC$ có $b = 10, c = 12, \widehat{A} = 150^\circ$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

💡Xem lời giải

• $S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2}(10)(12)\sin 150^\circ = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$.

Dạng 4: Độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Công thức đường trung tuyến: $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Tính trung tuyến ma)

Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 7, c = 9$. Tính độ dài đường trung tuyến $m_a$.

💡Xem lời giải

• $m_a^2 = \frac{2(7^2 + 9^2) - 6^2}{4} = \frac{2(49 + 81) - 36}{4} = \frac{260 - 36}{4} = 56$.

• $m_a = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Tính trung tuyến trong tam giác cân)

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $a = 8, b = c = 5$. Tính $m_a$ và $m_b$.

💡Xem lời giải

• $m_a = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$.

• $m_b^2 = \frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4} = \frac{2(64 + 25) - 25}{4} = \frac{153}{4} \Rightarrow m_b = \frac{3\sqrt{17}}{2}$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Tính trung tuyến tam giác đều)

Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ cạnh $a = 4\text{ cm}$.

💡Xem lời giải

• Trong tam giác đều cạnh $a$, $m_a = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ cm}$.

Dạng 5: Nhận dạng tam giác (Vuông, Nhọn, Tù, Cân, Đều)

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Xét dấu $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ của góc lớn nhất. Nếu $=0$ (vuông), $>0$ (nhọn), $<0$ (tù).

🔍 Ví dụ 5.1 (Nhận dạng tam giác có 3 cạnh 3, 5, 7)

Tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a = 3, b = 5, c = 7$ là tam giác nhọn, vuông hay tù?

💡Xem lời giải

• Cạnh lớn nhất là $c = 7$. Tính $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)} = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2} < 0$.

• Góc $C = 120^\circ \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ là tam giác tù.

🔍 Ví dụ 5.2 (Nhận dạng tam giác khi a² = b² + bc)

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $a^2 = b^2 + c^2 + bc$. Tính số đo góc $A$.

💡Xem lời giải

• Theo định lý côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.

• Suy ra $-2bc \cos A = bc \Leftrightarrow \cos A = -1/2 \Rightarrow \widehat{A} = 120^\circ$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Chứng minh tam giác vuông)

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $a = 2b \cos C$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $A$.

💡Xem lời giải

• Theo định lý sin: $a = 2R\sin A, b = 2R\sin B$.

• $2R\sin A = 2(2R\sin B)\cos C \Leftrightarrow \sin A = 2\sin B \cos C$.

• Dùng $\sin A = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C \Rightarrow \sin B \cos C = \cos B \sin C \Rightarrow \sin(B-C) = 0 \Rightarrow B = C$.

• Tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Dạng 6: Bài toán thực tế Đo chiều cao & Khoảng cách

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Mô hình hóa bài toán thực tế thành tam giác $ABC$, áp dụng định lý sin/côsin để tìm khoảng cách.

🔍 Ví dụ 6.1 (Đo khoảng cách giữa 2 điểm qua hồ nước)

Muốn đo khoảng cách giữa 2 vị trí A và B bên hồ nước, người ta chọn vị trí C sao cho $CA = 100\text{ m}, CB = 120\text{ m}$ và $\widehat{ACB} = 60^\circ$. Tính khoảng cách $AB$.

💡Xem lời giải

• $AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2(CA)(CB)\cos 60^\circ = 100^2 + 120^2 - 2(100)(120)(0.5) = 10000 + 14400 - 12000 = 12400$.

• $AB = \sqrt{12400} \approx 111.35\text{ m}$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Đo chiều cao ngọn tháp)

Để đo chiều cao ngọn tháp $CH$, đứng tại $A$ và $B$ cách nhau $30\text{ m}$ trên mặt đất thẳng hàng với chân tháp $H$. Đo góc nâng $\widehat{CAD} = 45^\circ$ và $\widehat{CBD} = 30^\circ$. Tính chiều cao $CH$ của tháp.

💡Xem lời giải

• Áp dụng định lý Sin trong $\triangle ABD$: $AD = \frac{AB \cdot \sin 30^\circ}{\sin 15^\circ} \approx 57.96\text{ m}$.

• Chiều cao tháp $CH = AD \cdot \sin 45^\circ \approx 40.98\text{ m}$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Đường bay của hai máy bay)

Hai máy bay xuất phát từ cùng một sân bay theo hai hướng tạo góc $45^\circ$. Máy bay 1 bay vận tốc $500\text{ km/h}$, máy bay 2 bay $600\text{ km/h}$. Hỏi sau 2 giờ hai máy bay cách nhau bao nhiêu km?

💡Xem lời giải

• $S_1 = 500 \times 2 = 1000\text{ km}, S_2 = 600 \times 2 = 1200\text{ km}$.

• $d^2 = 1000^2 + 1200^2 - 2(1000)(1200)\cos 45^\circ = 1000000 + 1440000 - 2400000(0.7071) \approx 742944$.

• $d \approx 861.94\text{ km}$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có $b = 8, c = 5, \widehat{A} = 60^\circ$. Độ dài cạnh $a$ bằng:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, \widehat{A} = 30^\circ$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ bằng:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Diện tích tam giác $ABC$ có $b = 4, c = 6, \widehat{A} = 30^\circ$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a = 3, b = 4, c = 5$. Diện tích tam giác $ABC$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Công thức Heron tính diện tích tam giác $ABC$ theo nửa chu vi $p$ là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 8, c = 9$. Độ dài đường trung tuyến $m_a$ kẻ từ $A$ bằng:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Tam giác $ABC$ có $a = 5, b = 6, c = 7$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ bằng:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Nếu tam giác $ABC$ thỏa mãn $a^2 + b^2 = c^2$ thì tam giác $ABC$ là tam giác gì?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Nếu trong tam giác $ABC$ có $\cos C < 0$ thì góc $C$ là góc gì?

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Ứng dụng thực tế của định lý côsin và sin trong đo đạc là gì?

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Hệ thức lượng trong tam giác (5 Bài lớn)

Bài 1 (Cơ bản). Cho tam giác $ABC$ có $a = 5, b = 7, c = 8$. Tính diện tích $S$, bán kính $R$ và bán kính $r$ của tam giác.

💡Xem lời giải Bài 1

• $p = 10$. $S = \sqrt{10(5)(3)(2)} = 10\sqrt{3}$.

• $R = \frac{abc}{4S} = \frac{280}{40\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$. $r = \frac{S}{p} = \sqrt{3}$.

Bài 2 (Thông hiểu). Cho tam giác $ABC$ có $b = 10, c = 6, \widehat{A} = 120^\circ$. Tính cạnh $a$ và độ dài đường trung tuyến $m_a$.

💡Xem lời giải Bài 2

• $a^2 = 100 + 36 - 2(10)(6)(-0.5) = 196 \Rightarrow a = 14$.

• $m_a^2 = \frac{2(100 + 36) - 196}{4} = \frac{272 - 196}{4} = 19 \Rightarrow m_a = \sqrt{19}$.

Bài 3 (Vận dụng). Cho tam giác $ABC$ có $a = 4, b = 5, c = 6$. Tính chiều cao $h_a$ và góc nhỏ nhất của tam giác.

💡Xem lời giải Bài 3

• $p = 7.5$. $S = \sqrt{7.5(3.5)(2.5)(1.5)} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.

• $h_a = \frac{2S}{a} = \frac{15\sqrt{7}}{8}$. Góc nhỏ nhất đối diện cạnh nhỏ nhất $a = 4 \Rightarrow \cos A = \frac{25+36-16}{60} = \frac{45}{60} = 0.75 \Rightarrow A \approx 41.4^\circ$.

Bài 4 (Vận dụng cao). Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân tại $A$ khi và chỉ khi $h_a = \sqrt{b c \cos B \cos C}$.

💡Xem lời giải Bài 4

• Biến đổi các yếu tố $h_a = c \sin B$ và dùng công thức lượng giác trong tam giác suy ra $B = C \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Bài 5 (Thực tế). Một ngọn hải đăng cao $50\text{ m}$ trên vách đá. Từ hai tàu A và B nhìn thấy đỉnh hải đăng với góc nâng lần lượt là $30^\circ$ và $45^\circ$. Biết hai tàu và chân hải đăng thẳng hàng. Tính khoảng cách giữa hai tàu trong hai trường hợp: a) Hai tàu ở về hai phía hải đăng; b) Hai tàu ở cùng một phía.

💡Xem lời giải Bài 5

• Khoảng cách từ tàu A tới chân ngọn đá: $d_A = 50 / \tan 30^\circ = 50\sqrt{3} \approx 86.6\text{ m}$.

• Khoảng cách từ tàu B tới chân ngọn đá: $d_B = 50 / \tan 45^\circ = 50\text{ m}$.

• Trường hợp a (hai phía): $d_A + d_B = 50\sqrt{3} + 50 \approx 136.6\text{ m}$.

• Trường hợp b (cùng phía): $d_A - d_B = 50\sqrt{3} - 50 \approx 36.6\text{ m}$.

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm