Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
Lý thuyết chi tiết chuẩn SGK Toán 10, phân dạng toán rõ ràng kèm phương pháp giải và 18+ ví dụ minh họa từng dạng, đồ thị JSXGraph, trắc nghiệm động và bài tập tự luận.
I. Lý thuyết trọng tâm Hệ thức lượng trong tam giác
1. Định lý Côsin & Hệ quả
• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
Hệ quả tính góc: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$, $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
2. Định lý Sin & Bán kính R
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
3. Công thức tính diện tích & Bán kính nội tiếp r
1. $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$
2. $S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C$
3. $S = \frac{a b c}{4R}$
4. $S = p r$ (với $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp)
5. Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)
Tam giác $ABC$ với đường tròn ngoại tiếp bán kính $R$ và đường tròn nội tiếp bán kính $r$.
💡 Mô phỏng 1: Đường tròn ngoại tiếp (xanh dương) và đường tròn nội tiếp (đỏ).
III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)
Dạng 1: Định lý Côsin — Tính cạnh & tính góc tam giác
• Biết 2 cạnh và góc kẹp giữa $\Rightarrow$ dùng $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ tính cạnh còn lại.
• Biết 3 cạnh $\Rightarrow$ dùng $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ tính góc.
Cho tam giác $ABC$ có $b = 6\text{ cm}, c = 8\text{ cm}, \widehat{A} = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $a$.
Xem lời giải
• $a^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8)\cos 60^\circ = 36 + 64 - 96(0.5) = 100 - 48 = 52$.
• $a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\text{ cm}$.
Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 5, c = 8$. Tính số đo góc $A$.
Xem lời giải
• $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2(5)(8)} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.
• $\widehat{A} = 60^\circ$.
Cho tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 3, c = 5$. Tính số đo góc $A$.
Xem lời giải
• $\cos A = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$.
• $\widehat{A} = 120^\circ$.
Dạng 2: Định lý Sin — Tính cạnh, tính góc & bán kính R
Áp dụng tỉ lệ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
Cho tam giác $ABC$ có $a = 10\text{ cm}, \widehat{A} = 45^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Xem lời giải
• $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sqrt{2}/2} = 10\sqrt{2}$.
• $R = 5\sqrt{2}\text{ cm}$.
Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, \widehat{A} = 60^\circ, \widehat{B} = 45^\circ$. Tính độ dài cạnh $b$.
Xem lời giải
• $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{6 \cdot (\sqrt{2}/2)}{\sqrt{3}/2} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$.
Cho tam giác $ABC$ có $a = 4, b = 4\sqrt{3}, \widehat{A} = 30^\circ$. Tính số đo góc $B$.
Xem lời giải
• $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{4\sqrt{3} \cdot (1/2)}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\widehat{B} = 60^\circ$ hoặc $\widehat{B} = 120^\circ$.
Dạng 3: Các công thức tính diện tích tam giác
Tùy theo giả thiết (2 cạnh + góc kẹp, 3 cạnh, hoặc bán kính $R, r$), lựa chọn công thức thích hợp.
Tính diện tích tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a = 13, b = 14, c = 15$.
Xem lời giải
• Nửa chu vi $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.
• $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.
Trong Ví dụ 3.1, tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$ và bán kính $R$.
Xem lời giải
• $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$.
• $R = \frac{a b c}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8.125$.
Cho tam giác $ABC$ có $b = 10, c = 12, \widehat{A} = 150^\circ$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
Xem lời giải
• $S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2}(10)(12)\sin 150^\circ = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$.
Dạng 4: Độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc
Công thức đường trung tuyến: $m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$.
Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 7, c = 9$. Tính độ dài đường trung tuyến $m_a$.
Xem lời giải
• $m_a^2 = \frac{2(7^2 + 9^2) - 6^2}{4} = \frac{2(49 + 81) - 36}{4} = \frac{260 - 36}{4} = 56$.
• $m_a = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $a = 8, b = c = 5$. Tính $m_a$ và $m_b$.
Xem lời giải
• $m_a = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$.
• $m_b^2 = \frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4} = \frac{2(64 + 25) - 25}{4} = \frac{153}{4} \Rightarrow m_b = \frac{3\sqrt{17}}{2}$.
Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ cạnh $a = 4\text{ cm}$.
Xem lời giải
• Trong tam giác đều cạnh $a$, $m_a = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ cm}$.
Dạng 5: Nhận dạng tam giác (Vuông, Nhọn, Tù, Cân, Đều)
Xét dấu $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ của góc lớn nhất. Nếu $=0$ (vuông), $>0$ (nhọn), $<0$ (tù).
Tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a = 3, b = 5, c = 7$ là tam giác nhọn, vuông hay tù?
Xem lời giải
• Cạnh lớn nhất là $c = 7$. Tính $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)} = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2} < 0$.
• Góc $C = 120^\circ \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ là tam giác tù.
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $a^2 = b^2 + c^2 + bc$. Tính số đo góc $A$.
Xem lời giải
• Theo định lý côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
• Suy ra $-2bc \cos A = bc \Leftrightarrow \cos A = -1/2 \Rightarrow \widehat{A} = 120^\circ$.
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $a = 2b \cos C$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Xem lời giải
• Theo định lý sin: $a = 2R\sin A, b = 2R\sin B$.
• $2R\sin A = 2(2R\sin B)\cos C \Leftrightarrow \sin A = 2\sin B \cos C$.
• Dùng $\sin A = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C \Rightarrow \sin B \cos C = \cos B \sin C \Rightarrow \sin(B-C) = 0 \Rightarrow B = C$.
• Tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Dạng 6: Bài toán thực tế Đo chiều cao & Khoảng cách
Mô hình hóa bài toán thực tế thành tam giác $ABC$, áp dụng định lý sin/côsin để tìm khoảng cách.
Muốn đo khoảng cách giữa 2 vị trí A và B bên hồ nước, người ta chọn vị trí C sao cho $CA = 100\text{ m}, CB = 120\text{ m}$ và $\widehat{ACB} = 60^\circ$. Tính khoảng cách $AB$.
Xem lời giải
• $AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2(CA)(CB)\cos 60^\circ = 100^2 + 120^2 - 2(100)(120)(0.5) = 10000 + 14400 - 12000 = 12400$.
• $AB = \sqrt{12400} \approx 111.35\text{ m}$.
Để đo chiều cao ngọn tháp $CH$, đứng tại $A$ và $B$ cách nhau $30\text{ m}$ trên mặt đất thẳng hàng với chân tháp $H$. Đo góc nâng $\widehat{CAD} = 45^\circ$ và $\widehat{CBD} = 30^\circ$. Tính chiều cao $CH$ của tháp.
Xem lời giải
• Áp dụng định lý Sin trong $\triangle ABD$: $AD = \frac{AB \cdot \sin 30^\circ}{\sin 15^\circ} \approx 57.96\text{ m}$.
• Chiều cao tháp $CH = AD \cdot \sin 45^\circ \approx 40.98\text{ m}$.
Hai máy bay xuất phát từ cùng một sân bay theo hai hướng tạo góc $45^\circ$. Máy bay 1 bay vận tốc $500\text{ km/h}$, máy bay 2 bay $600\text{ km/h}$. Hỏi sau 2 giờ hai máy bay cách nhau bao nhiêu km?
Xem lời giải
• $S_1 = 500 \times 2 = 1000\text{ km}, S_2 = 600 \times 2 = 1200\text{ km}$.
• $d^2 = 1000^2 + 1200^2 - 2(1000)(1200)\cos 45^\circ = 1000000 + 1440000 - 2400000(0.7071) \approx 742944$.
• $d \approx 861.94\text{ km}$.
🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác
Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!
🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)
Bài 1 (Cơ bản). Cho tam giác $ABC$ có $a = 5, b = 7, c = 8$. Tính diện tích $S$, bán kính $R$ và bán kính $r$ của tam giác.
Xem lời giải Bài 1
• $p = 10$. $S = \sqrt{10(5)(3)(2)} = 10\sqrt{3}$.
• $R = \frac{abc}{4S} = \frac{280}{40\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$. $r = \frac{S}{p} = \sqrt{3}$.
Bài 2 (Thông hiểu). Cho tam giác $ABC$ có $b = 10, c = 6, \widehat{A} = 120^\circ$. Tính cạnh $a$ và độ dài đường trung tuyến $m_a$.
Xem lời giải Bài 2
• $a^2 = 100 + 36 - 2(10)(6)(-0.5) = 196 \Rightarrow a = 14$.
• $m_a^2 = \frac{2(100 + 36) - 196}{4} = \frac{272 - 196}{4} = 19 \Rightarrow m_a = \sqrt{19}$.
Bài 3 (Vận dụng). Cho tam giác $ABC$ có $a = 4, b = 5, c = 6$. Tính chiều cao $h_a$ và góc nhỏ nhất của tam giác.
Xem lời giải Bài 3
• $p = 7.5$. $S = \sqrt{7.5(3.5)(2.5)(1.5)} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.
• $h_a = \frac{2S}{a} = \frac{15\sqrt{7}}{8}$. Góc nhỏ nhất đối diện cạnh nhỏ nhất $a = 4 \Rightarrow \cos A = \frac{25+36-16}{60} = \frac{45}{60} = 0.75 \Rightarrow A \approx 41.4^\circ$.
Bài 4 (Vận dụng cao). Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân tại $A$ khi và chỉ khi $h_a = \sqrt{b c \cos B \cos C}$.
Xem lời giải Bài 4
• Biến đổi các yếu tố $h_a = c \sin B$ và dùng công thức lượng giác trong tam giác suy ra $B = C \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Bài 5 (Thực tế). Một ngọn hải đăng cao $50\text{ m}$ trên vách đá. Từ hai tàu A và B nhìn thấy đỉnh hải đăng với góc nâng lần lượt là $30^\circ$ và $45^\circ$. Biết hai tàu và chân hải đăng thẳng hàng. Tính khoảng cách giữa hai tàu trong hai trường hợp: a) Hai tàu ở về hai phía hải đăng; b) Hai tàu ở cùng một phía.
Xem lời giải Bài 5
• Khoảng cách từ tàu A tới chân ngọn đá: $d_A = 50 / \tan 30^\circ = 50\sqrt{3} \approx 86.6\text{ m}$.
• Khoảng cách từ tàu B tới chân ngọn đá: $d_B = 50 / \tan 45^\circ = 50\text{ m}$.
• Trường hợp a (hai phía): $d_A + d_B = 50\sqrt{3} + 50 \approx 136.6\text{ m}$.
• Trường hợp b (cùng phía): $d_A - d_B = 50\sqrt{3} - 50 \approx 36.6\text{ m}$.