Bài 5: Giá trị lượng giác từ 0° đến 180°

I. Lý thuyết trọng tâm Giá trị lượng giác từ 0° đến 180°

1. Định nghĩa trên nửa đường tròn đơn vị

⚡ Định nghĩa GTLG trên nửa đường tròn đơn vị

Với mỗi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), ta xác định điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khái niệm:

$\sin \alpha = y_0$ (tung độ của $M$).
$\cos \alpha = x_0$ (hoành độ của $M$).
$\tan \alpha = \frac{y_0}{x_0} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (với $\alpha \ne 90^\circ$).
$\cot \alpha = \frac{x_0}{y_0} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (với $\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$).

2. Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt & Hai góc bù nhau

📌 Giá trị lượng giác hai góc bù nhau ($\alpha$ và $180^\circ - \alpha$)

• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$

• $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$

• $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$

3. Các hệ thức lượng giác cơ bản

⚡ Các đồng nhất thức lượng giác quan trọng

1. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

2. $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ (với $\alpha \ne 90^\circ$)

3. $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ (với $\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$)

4. $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Nửa đường tròn đơn vị biểu diễn điểm $M(x_0, y_0)$ tương ứng với góc $alpha = 120^circ$.

💡 Mô phỏng 1: Tung độ sin y_M và hoành độ cos x_M trên đường tròn đơn vị.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Tính GTLG của các góc đặc biệt

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Tra bảng góc đặc biệt hoặc biến đổi góc tù thành góc nhọn bù qua công thức $180^\circ - \alpha$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính giá trị biểu thức góc đặc biệt)

Tính giá trị của biểu thức $A = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ$.

💡Xem lời giải

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\tan 45^\circ = 1$.

• $A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tính GTLG góc tù)

Tính $\sin 120^\circ$ và $\cos 150^\circ$.

💡Xem lời giải

• $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $\cos 150^\circ = -\cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Tính biểu thức phức hợp)

Tính $B = 2\sin 135^\circ + \sqrt{3}\tan 120^\circ$.

💡Xem lời giải

• $\sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 2\sin 135^\circ = \sqrt{2}$.

• $\tan 120^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}\tan 120^\circ = -3$.

• $B = \sqrt{2} - 3$.

Dạng 2: Rút gọn biểu thức bằng góc bù (180° - α)

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Ghép cặp các góc có tổng bằng $180^\circ$ dựa vào $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ để triệt tiêu.

🔍 Ví dụ 2.1 (Rút gọn tổng cosin)

Tính $S = \cos 10^\circ + \cos 20^\circ + \dots + \cos 170^\circ + \cos 180^\circ$.

💡Xem lời giải

• Ghép cặp: $(\cos 10^\circ + \cos 170^\circ) = 0$, $(\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) = 0, \dots, (\cos 80^\circ + \cos 100^\circ) = 0$.

• Còn lại $\cos 90^\circ = 0$ và $\cos 180^\circ = -1$.

• $S = -1$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Rút gọn tổng sin bình phương)

Tính $P = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 160^\circ + \sin^2 170^\circ$.

💡Xem lời giải

• $\sin 170^\circ = \sin 10^\circ \Rightarrow \sin^2 170^\circ = \sin^2 10^\circ$.

• $\sin 160^\circ = \sin 20^\circ \Rightarrow \sin^2 160^\circ = \sin^2 20^\circ$.

• $P = 2(\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ)$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Rút gọn biểu thức chứa tang bù)

Tính $Q = \tan 20^\circ + \tan 160^\circ + \cot 40^\circ + \cot 140^\circ$.

💡Xem lời giải

• $\tan 160^\circ = -\tan 20^\circ \Rightarrow \tan 20^\circ + \tan 160^\circ = 0$.

• $\cot 140^\circ = -\cot 40^\circ \Rightarrow \cot 40^\circ + \cot 140^\circ = 0$.

• $Q = 0$.

Dạng 3: Tính các GTLN/GTNN khi biết 1 giá trị lượng giác

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Sử dụng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Chú ý góc tù thì $\cos \alpha < 0$, góc nhọn thì $\cos \alpha > 0$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Biết sin, tính cos góc tù)

Cho $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$.

💡Xem lời giải

• $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

• Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ \Rightarrow \cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{3}{5}$.

• $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Biết cos, tính sin và tan)

Cho $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$. Tính $\sin \alpha$ và $\cot \alpha$.

💡Xem lời giải

• $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.

• Với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ thì $\sin \alpha \ge 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{5}{13}$.

• $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\frac{12}{5}$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Biết tan, tính sin và cos)

Cho $\tan \alpha = -3$. Tính $\cos^2 \alpha$ và $\sin^2 \alpha$.

💡Xem lời giải

• $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow 1 + 9 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{10}$.

• $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \frac{9}{10}$.

Dạng 4: Rút gọn và tính biểu thức lượng giác đồng bậc

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (hoặc $\cos^2 \alpha$) để đưa về biểu thức theo $\tan \alpha$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Biểu thức bậc 1 theo tan)

Cho $\tan \alpha = 3$. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{2\sin \alpha + 3\cos \alpha}{4\sin \alpha - 5\cos \alpha}$.

💡Xem lời giải

• Chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha \ne 0$:

• $A = \frac{2\tan \alpha + 3}{4\tan \alpha - 5} = \frac{2(3) + 3}{4(3) - 5} = \frac{9}{7}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Biểu thức bậc 2 theo tan)

Cho $\tan \alpha = 2$. Tính $B = \frac{\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha - 3\cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}$.

💡Xem lời giải

• Chia cả tử và mẫu cho $\cos^2 \alpha$:

• $B = \frac{\tan^2 \alpha + 2\tan \alpha - 3}{2\tan^2 \alpha + 1} = \frac{4 + 4 - 3}{2(4) + 1} = \frac{5}{9}$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Tính tổng sin + cos từ tích)

Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{5}{4}$. Tính $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

💡Xem lời giải

• Bình phương 2 vế: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \frac{25}{16}$.

• $\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{25}{16} \Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{25}{16}$.

• $2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{9}{16} \Rightarrow \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{9}{32}$.

Dạng 5: Hệ thức lượng giác giữa các góc trong tam giác

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Vì $A + B + C = 180^\circ \Rightarrow A + B = 180^\circ - C$. Suy ra $\sin(A+B) = \sin C$, $\cos(A+B) = -\cos C$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Chứng minh sin(A+B) = sin C)

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\sin(A + B) = \sin C$ và $\cos(A + B) = -\cos C$.

💡Xem lời giải

• Do $A + B = 180^\circ - C$, áp dụng tính chất hai góc bù nhau:

• $\sin(A + B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$.

• $\cos(A + B) = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Rút gọn biểu thức trong tam giác)

Cho tam giác $ABC$. Rút gọn biểu thức $S = \cos(A + B) + \cos C$.

💡Xem lời giải

• $\cos(A + B) = -\cos C \Rightarrow S = -\cos C + \cos C = 0$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Góc nửa tam giác)

Chứng minh $\sin\left(\frac{A + B}{2}\right) = \cos\left(\frac{C}{2}\right)$.

💡Xem lời giải

• $\frac{A + B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$. Hai góc phụ nhau có $\sin$ góc này bằng $\cos$ góc kia.

• $\sin\left(\frac{A + B}{2}\right) = \sin\left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) = \cos\left(\frac{C}{2}\right)$.

Dạng 6: Tọa độ điểm trên đường tròn đơn vị & Thực tế

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị ứng với góc $\alpha$ có tọa độ $M(\cos \alpha; \sin \alpha)$.

🔍 Ví dụ 6.1 (Xác định tọa độ M ứng với α = 150°)

Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho góc $\widehat{xOM} = 150^\circ$.

💡Xem lời giải

• $x_M = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $y_M = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$.

• Tọa độ điểm $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Tìm góc α khi biết hoành độ x_M)

Điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị có hoành độ $x_M = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính góc $\alpha = \widehat{xOM}$.

💡Xem lời giải

• $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 135^\circ$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Ứng dụng hướng nghiêng của mái nhà)

Mái nhà thiết kế với độ dốc nghiêng góc $\alpha = 30^\circ$ so với phương nằm ngang. Chiều dài dốc mái là $L = 6\text{ m}$. Tính chiều cao $h$ đỉnh mái so với xà ngang.

💡Xem lời giải

• $h = L \cdot \sin \alpha = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\text{ m}$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Mệnh đề nào sau đây **ĐÚNG**?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Khẳng định nào sau đây **SAI** về hai góc bù nhau $\alpha$ và $180^\circ - \alpha$?

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Tính giá trị của biểu thức $P = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ$.

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Tính $Q = \cos 0^\circ + \cos 40^\circ + \cos 140^\circ + \cos 180^\circ$.

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Tính $\cos \alpha$.

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho $\tan \alpha = 2$. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Tọa độ của điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị ứng với góc $\alpha = 120^\circ$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Trong tam giác $ABC$, khẳng định nào sau đây **ĐÚNG**?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$)?

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Giá trị của $\tan 45^\circ + \cot 45^\circ$ bằng:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Giá trị lượng giác từ 0° đến 180°

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Giá trị lượng giác từ 0° đến 180° (5 Bài lớn)

Bài 1 (Cơ bản). Tính giá trị của biểu thức $A = 4\sin 30^\circ - 2\cos 60^\circ + 3\tan 135^\circ$.

💡Xem lời giải Bài 1

• $A = 4(1/2) - 2(1/2) + 3(-1) = 2 - 1 - 3 = -2$.

Bài 2 (Thông hiểu). Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Tính $\cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha$.

💡Xem lời giải Bài 2

• $\cos^2 \alpha = 1 - 1/9 = 8/9 \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (vì $\alpha$ tù).

• $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}, \cot \alpha = -2\sqrt{2}$.

Bài 3 (Vận dụng). Rút gọn biểu thức $M = \sin(180^\circ - x) + \cos(180^\circ - x) + \sin(90^\circ - x) + \cos(90^\circ - x)$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$.

• $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, $\cos(90^\circ - x) = \sin x$.

• $M = \sin x - \cos x + \cos x + \sin x = 2\sin x$.

Bài 4 (Vận dụng cao). Cho $\tan \alpha = sqrt{2}$. Tính giá trị biểu thức $P = \frac{3\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + 2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha + 4\cos^2 \alpha}$.

💡Xem lời giải Bài 4

• Chia cả tử và mẫu cho $\cos^2 \alpha$:

• $P = \frac{3\tan^2 \alpha - \tan \alpha + 2}{\tan^2 \alpha + 4} = \frac{3(2) - \sqrt{2} + 2}{2 + 4} = \frac{8 - \sqrt{2}}{6}$.

Bài 5 (Thực tế). Một chiếc cần cẩu có cánh tay đòn dài $10\text{ m}$ nâng hàng. Cánh tay đòn tạo với mặt đất phẳng một góc $\alpha$. Tìm chiều cao $h$ của đầu cánh tay đòn khi $\alpha = 45^\circ$ và $\alpha = 60^\circ$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Khi $\alpha = 45^\circ$: $h = 10 \sin 45^\circ = 5\sqrt{2} \approx 7.07\text{ m}$.

• Khi $\alpha = 60^\circ$: $h = 10 \sin 60^\circ = 5\sqrt{3} \approx 8.66\text{ m}$.