Bài 4: Hệ bất PT bậc nhất hai ẩn

• Thay $x = 1, y = 1$: $1 + 1 = 2 \le 3$ (đúng); $2(1) - 1 = 1 > 0$ (đúng); $1 \ge 0$ (đúng).

• Điểm $M(1; 1)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

• Thay $x = 0, y = 2$: BPT thứ hai $2(0) - 2 = -2 > 0$ (SAI).

• Điểm $N(0; 2)$ không thuộc miền nghiệm của hệ.

• Hệ a): $0 \le 2$ (đúng) và $0 \le 1$ (đúng) $\Rightarrow O$ thuộc miền nghiệm hệ a.

• Hệ b): $0 > 1$ (sai) $\Rightarrow O$ không thuộc hệ b.

• $x \ge 0$: nửa mặt phẳng bên phải $Oy$.

• $y \ge 0$: nửa mặt phẳng phía trên $Ox$.

• $x + y \le 4$: nửa mặt phẳng phía dưới $d: x + y = 4$.

• Miền nghiệm là tam giác vuông $OAB$ với $O(0; 0), A(4; 0), B(0; 4)$.

• Miền nghiệm là hình chữ nhật $OABC$ với các đỉnh $O(0; 0), A(3; 0), B(3; 2), C(0; 2)$.

• Miền nghiệm là hình tứ giác có các đỉnh $O(0; 0), A(3; 0), B(1; 4), C(0; 5)$.

• Giao của $x = 0$ và $x - y = 0 \Rightarrow O(0; 0)$.

• Giao của $x = 0$ và $x + 2y = 6 \Rightarrow C(0; 3)$.

• Giao của $x - y = 0$ và $x + 2y = 6 \Rightarrow B(2; 2)$.

• Tọa độ 3 đỉnh: $O(0; 0), B(2; 2), C(0; 3)$.

• Giải hệ $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + y = 6 \end{cases} \Rightarrow x = 1, y = 4$. Tọa độ $B(1; 4)$.

• $O(0; 0)$. $A(4; 0)$ (giao $3x+2y=12$ với $Ox$).

• $B(2; 3)$ (giải hệ $x+2y=8$ và $3x+2y=12$). $C(0; 4)$ (giao $x+2y=8$ với $Oy$).

• $F(O) = 0$. $F(A) = 2(4) + 0 = 8$. $F(B) = 0 + 3(3) = 9$.

• $F_{max} = 9$ tại $B(0; 3)$ và $F_{min} = 0$ tại $O(0; 0)$.

• $F(O) = 0$. $F(A) = 1200$. $F(B) = 300(2) + 400(3) = 1800$. $F(C) = 400(4) = 1600$.

• $F_{max} = 1800$ tại $B(2; 3)$.

• $F(A) = 20(1) + 15(4) = 80$. $F(B) = 20(3) + 15(2) = 90$.

• $F(C) = 20(4) + 15(5) = 155$. $F(D) = 20(2) + 15(6) = 130$.

• $F_{min} = 80$ tại $A(1; 4)$.

• Hệ ràng buộc: $\begin{cases} 0 \le x \le 15 \\ 0 \le y \le 20 \\ 2x + y \le 40 \end{cases}$.

• Các đỉnh miền nghiệm: $O(0; 0), A(15; 0), B(15; 10), C(10; 20), D(0; 20)$.

• $F(x, y) = 40x + 30y$. $F(O)=0, F(A)=600, F(B)=900, F(C)=1000, F(D)=600$.

• Lợi nhuận cao nhất là 1000 USD khi sản xuất 10 sản phẩm X và 20 sản phẩm Y.

• Đỉnh miền nghiệm: $O(0;0), A(40;0), B(30;20), C(0;50)$.

• $F(x, y) = 20x + 15y$. $F(A)=800, F(B)=900, F(C)=750$.

• Lợi nhuận tối đa = 900 nghìn đồng tại 30 bánh A và 20 bánh B.

• $F'(x, y) = 20x + 25y$. $F'(A)=800, F'(B)=20(30)+25(20)=1100, F'(C)=25(50)=1250$.

• Phương án tối ưu chuyển sang sản xuất 0 bánh A và 50 bánh B để lãi 1250 nghìn đồng.

• Hệ BPT: $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ 200x + 100y \ge 600 \Leftrightarrow 2x + y \ge 6 \\ 100x + 100y \ge 500 \Leftrightarrow x + y \ge 5 \end{cases}$.

• Các đỉnh giới hạn miền nghiệm: $A(0; 6), B(1; 4), C(5; 0)$.

• Chi phí $F(x, y) = 50x + 40y$. $F(A)=240, F(B)=50(1)+40(4)=210, F(C)=250$.

• Chi phí thấp nhất là 210 USD khi dùng 1kg F1 và 4kg F2.

• Chi phí tối thiểu đạt tại phương án thuê 5 xe lớn và 4 xe nhỏ với chi phí 32 triệu đồng.

• $F'(x, y) = 4x + 2y$. Khi đó phương án thuê xe nhỏ tối đa (4 xe lớn, 6 xe nhỏ) sẽ tiết kiệm chi phí hơn.