Bài 3: Bất PT bậc nhất hai ẩn

I. Lý thuyết trọng tâm Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm & Nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn

⚡ Định nghĩa BPT bậc nhất hai ẩn

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ dạng tổng quát:

$$a x + b y + c \le 0 \quad (\text{hoặc } <, >, \ge)$$

trong đó $a, b, c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

• Nghịệm: Cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho $a x_0 + b y_0 + c \le 0$ là một khẳng định đúng.

2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

📌 Các bước biểu diễn miền nghiệm của $ax + by + c \le 0$

Vẽ đường thẳng bờ $d: a x + b y + c = 0$.
Lấy một điểm thử $M_0(x_0; y_0) \notin d$ (thường chọn gốc tọa độ $O(0; 0)$ nếu $c \ne 0$).
Tính $T = a x_0 + b y_0 + c$:
- Nếu $T \le 0$ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $M_0$.
- Nếu $T > 0$ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $M_0$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đường thẳng $x + y - 2 = 0$ và miền nghiệm chứa gốc tọa độ $O(0, 0)$ của bất phương trình $x + y - 2 le 0$.

💡 Mô phỏng 1: Đường thẳng d: x + y = 2 và miền nghiệm phía dưới chứa O(0,0).

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Nhận biết BPT bậc nhất hai ẩn & Kiểm tra nghiệm

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Thay tọa độ $(x_0, y_0)$ vào BPT, nếu ra bất đẳng thức đúng thì $(x_0, y_0)$ là nghiệm.

🔍 Ví dụ 1.1 (Kiểm tra cặp số là nghiệm)

Cho BPT $2x - y + 3 > 0$. Kiểm tra xem cặp số $(1; 2)$ có là nghiệm của BPT hay không?

💡Xem lời giải

• Thay $x = 1, y = 2$: $2(1) - 2 + 3 = 3 > 0$ (ĐÚNG).

• Cặp số $(1; 2)$ là một nghiệm của BPT.

🔍 Ví dụ 1.2 (Nhận biết dạng BPT bậc nhất hai ẩn)

Trong các BPT sau, đâu là BPT bậc nhất hai ẩn?

a) $3x - 4y \le 12$.
b) $x^2 + y > 1$.
c) $2x + yz - 3 > 0$.

💡Xem lời giải

• a) Là BPT bậc nhất hai ẩn $x, y$.

• b) Không phải (bậc hai theo $x$).

• c) Không phải (chứa tích $y z$).

🔍 Ví dụ 1.3 (Kiểm tra gốc tọa độ O)

Điểm $O(0; 0)$ có thuộc miền nghiệm của BPT $x - 3y + 6 \le 0$ không?

💡Xem lời giải

• Thay $(0; 0)$: $0 - 0 + 6 = 6 \le 0$ (SAI).

• $O(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm.

Dạng 2: Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Vẽ đường bờ $d$, chọn gốc $O(0, 0)$ làm điểm thử để xác định nửa mặt phẳng gạch bỏ.

🔍 Ví dụ 2.1 (Biểu diễn miền nghiệm x + y ≤ 3)

Biểu diễn miền nghiệm của BPT $x + y \le 3$ trên mặt phẳng tọa độ.

💡Xem lời giải

• Vẽ đường thẳng $d: x + y = 3$ qua $(3; 0)$ và $(0; 3)$.

• Thay $O(0; 0)$: $0 + 0 = 0 \le 3$ (đúng) $\Rightarrow$ Miền nghiệm chứa $O(0; 0)$ kể cả bờ $d$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Biểu diễn miền nghiệm 2x - y > 4)

Biểu diễn miền nghiệm của BPT $2x - y > 4$.

💡Xem lời giải

• Vẽ $d: 2x - y = 4$ qua $(2; 0)$ và $(0; -4)$.

• Thay $O(0; 0)$: $0 - 0 = 0 > 4$ (sai) $\Rightarrow$ Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $O$, không kể bờ $d$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Biểu diễn miền nghiệm x - 2y + 2 ≥ 0)

Biểu diễn miền nghiệm của $x - 2y + 2 \ge 0$.

💡Xem lời giải

• Vẽ $d: x - 2y = -2$ qua $(-2; 0)$ và $(0; 1)$.

• Thay $O(0; 0)$: $0 - 0 + 2 = 2 \ge 0$ (đúng) $\Rightarrow$ Miền nghiệm chứa $O$, kể cả bờ $d$.

Dạng 3: BPT bậc nhất hai ẩn không chứa hằng số tự do

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Đường bờ đi qua $O(0, 0)$. Chọn điểm thử khác $O$, ví dụ $M(1; 0)$ hoặc $N(0; 1)$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Biểu diễn y ≥ 2x)

Biểu diễn miền nghiệm của BPT $y \ge 2x$.

💡Xem lời giải

• Đường bờ $d: y = 2x$ qua $(0; 0)$ và $(1; 2)$.

• Chọn điểm $M(1; 0) \notin d$: thay vào $0 \ge 2(1)$ (sai) $\Rightarrow$ Miền nghiệm không chứa điểm $M(1; 0)$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Biểu diễn x - y < 0)

Biểu diễn miền nghiệm của BPT $x - y < 0$.

💡Xem lời giải

• Đường bờ $d: y = x$. Chọn $N(0; 1)$: $0 - 1 = -1 < 0$ (đúng).

• Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $N(0; 1)$, không kể bờ $d$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Biểu diễn 3x + 2y ≤ 0)

Biểu diễn miền nghiệm của BPT $3x + 2y \le 0$.

💡Xem lời giải

• Đường bờ qua $(0; 0)$ và $(2; -3)$. Chọn $M(1; 0) \Rightarrow 3(1) + 0 = 3 \le 0$ (sai).

• Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $M(1; 0)$, kể cả bờ.

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để điểm thuộc miền nghiệm

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Thay tọa độ điểm cho trước vào BPT thu được BPT theo tham số $m$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Tìm m để A(1; 2) thuộc miền nghiệm)

Tìm $m$ để điểm $A(1; 2)$ thuộc miền nghiệm của BPT $m x + (m - 1) y + 2 \le 0$.

💡Xem lời giải

• Thay $(1; 2)$ vào BPT: $m(1) + (m - 1)(2) + 2 \le 0 \Leftrightarrow m + 2m - 2 + 2 \le 0 \Leftrightarrow 3m \le 0 \Rightarrow m \le 0$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Tìm m để O(0; 0) thuộc miền nghiệm)

Tìm $m$ để $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của $2x - 3y + m^2 - 4 > 0$.

💡Xem lời giải

• Thay $(0; 0)$: $m^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2$ hoặc $m < -2$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Tìm m để B(2; -1) không thuộc miền nghiệm)

Tìm $m$ để điểm $B(2; -1)$ **không thuộc** miền nghiệm của $x + m y - 3 < 0$.

💡Xem lời giải

• $B$ không thuộc miền nghiệm $\Leftrightarrow 2 + m(-1) - 3 \ge 0 \Leftrightarrow -m - 1 \ge 0 \Rightarrow m \le -1$.

Dạng 5: Bài toán thực tế Lập kế hoạch nguyên liệu sản xuất

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Gọi $x, y$ là số lượng hai loại sản phẩm. Lập BPT biểu diễn giới hạn tổng nguyên liệu sử dụng $a x + b y \le C$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Giới hạn máy móc sản xuất)

Một xưởng đúc 2 loại sản phẩm A và B. Sản phẩm A cần 2 giờ máy, sản phẩm B cần 3 giờ máy. Tổng thời gian máy không quá 120 giờ. Viết BPT ràng buộc thời gian máy.

💡Xem lời giải

• Gọi $x, y$ là số sản phẩm A và B ($x, y \ge 0$).

• BPT ràng buộc: $2x + 3y \le 120$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Ràng buộc nguyên liệu đồng và kẽm)

Một cơ sở luyện kim cần sản xuất hợp kim I và II. Hợp kim I dùng 4kg đồng, hợp kim II dùng 2kg đồng. Lượng đồng có sẵn là 80kg. Viết BPT mô tả lượng đồng tiêu thụ.

💡Xem lời giải

• $4x + 2y \le 80 \Leftrightarrow 2x + y \le 40$ ($x, y \ge 0$).

🔍 Ví dụ 5.3 (Kiểm tra tính khả thi của kế hoạch)

Trong Ví dụ 5.2, kế hoạch sản xuất 15 kg hợp kim I và 12 kg hợp kim II có khả thi không?

💡Xem lời giải

• Thay $(x, y) = (15, 12)$: $2(15) + 12 = 42 > 40$ (vượt quá lượng đồng có sẵn).

• Kế hoạch không khả thi.

Dạng 6: Bài toán thực tế Ngân sách mua sắm & Dinh dưỡng

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Lập BPT tổng chi phí $a x + b y \le \text{Ngân sách}$ hoặc tổng dinh dưỡng $a x + b y \ge \text{Nhu cầu}$.

🔍 Ví dụ 6.1 (Ngân sách đi chợ)

Giá $1\text{ kg}$ thịt heo là 120 nghìn đồng, $1\text{ kg}$ thịt gà là 80 nghìn đồng. Người mẹ có ngân sách tối đa 400 nghìn đồng. Viết BPT mua sắm.

💡Xem lời giải

• Gọi $x, y$ là số kg thịt heo và gà ($x, y \ge 0$).

• BPT: $120x + 80y \le 400 \Leftrightarrow 3x + 2y \le 10$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Nhu cầu Vitamin C tối thiểu)

Mỗi quả cam chứa 30mg Vitamin C, mỗi quả táo chứa 10mg. Một người cần nạp ít nhất 90mg Vitamin C mỗi ngày. Viết BPT nhu cầu Vitamin C.

💡Xem lời giải

• $30x + 10y \ge 90 \Leftrightarrow 3x + y \ge 9$ ($x, y \ge 0$).

🔍 Ví dụ 6.3 (Chi phí quảng cáo mạng xã hội)

Quảng cáo loại A tốn 50 USD/ngày, loại B tốn 80 USD/ngày. Doanh nghiệp chi không quá 2000 USD cho đợt quảng cáo. Viết BPT chi phí quảng cáo.

💡Xem lời giải

• $50x + 80y \le 2000 \Leftrightarrow 5x + 8y \le 200$ ($x, y \ge 0$).

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 > 0$?

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Điểm $O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Đường thẳng $d: x + y - 2 = 0$ chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng. Nửa mặt phẳng **chứa điểm $O(0;0)$** là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho bất phương trình $x - 2y + 4 \ge 0$. Khẳng định nào sau đây **SAI**?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 2$ là nửa mặt phẳng chứa bờ $d: x + y = 2$ và chứa điểm nào?

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Nếu bất phương trình bậc nhất hai ẩn có bờ là đường thẳng không đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, phương pháp nhanh nhất để xác định miền nghiệm là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Trong bài toán lập kế hoạch sản xuất, bất phương trình $2x + 3y \le 120$ biểu diễn giới hạn gì?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Giao điểm của bờ đường thẳng $x + 2y = 4$ với trục $Ox$ và $Oy$ lần lượt là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Bất phương trình $x - y > 0$ có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm về phía nào so với đường thẳng $y = x$?

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (5 Bài lớn)

Bài 1 (Cơ bản). Kiểm tra xem các điểm $A(1; 1), B(-2; 3), C(0; 4)$ có thuộc miền nghiệm của BPT $2x + y - 4 \le 0$ hay không?

💡Xem lời giải Bài 1

• Thay $A(1; 1): 2(1) + 1 - 4 = -1 \le 0$ (Thuộc).

• Thay $B(-2; 3): 2(-2) + 3 - 4 = -5 \le 0$ (Thuộc).

• Thay $C(0; 4): 2(0) + 4 - 4 = 0 \le 0$ (Thuộc).

Bài 2 (Thông hiểu). Biểu diễn miền nghiệm của BPT $3x - 2y + 6 > 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

💡Xem lời giải Bài 2

• Vẽ $d: 3x - 2y = -6$ qua $(-2; 0)$ và $(0; 3)$.

• Thay $O(0; 0): 6 > 0$ (đúng) $\Rightarrow$ Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $O(0; 0)$, không kể bờ $d$.

Bài 3 (Vận dụng). Tìm $m$ để điểm $M(2; -1)$ thuộc miền nghiệm của BPT $(m + 1) x - 2y + m - 3 \ge 0$.

💡Xem lời giải Bài 3

• Thay $(2; -1)$: $(m + 1)(2) - 2(-1) + m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 2m + 2 + 2 + m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 3m + 1 \ge 0 \Rightarrow m \ge -1/3$.

Bài 4 (Vận dụng cao). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để miền nghiệm của BPT $x - y + m > 0$ chứa toàn bộ đoạn thẳng kết nối hai điểm $A(1; 2)$ và $B(3; 0)$.

💡Xem lời giải Bài 4

• Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng lồi, chứa cả đoạn $AB$ khi và chỉ khi chứa cả 2 mút $A$ và $B$.

• Thay $A(1; 2): 1 - 2 + m > 0 \Rightarrow m > 1$. Thay $B(3; 0): 3 - 0 + m > 0 \Rightarrow m > -3$.

• Kết hợp: $m > 1$.

Bài 5 (Thực tế). Một trang trại chăn nuôi cần pha trộn hai loại thức ăn T1 và T2. Mỗi kg T1 chứa 20g đạm, mỗi kg T2 chứa 10g đạm. Trang trại cần tối thiểu 100g đạm mỗi ngày cho mỗi con vật. Viết BPT mô tả nhu cầu đạm và kiểm tra xem pha $3\text{kg}$ T1 với $5\text{kg}$ T2 có đủ đạm không?

💡Xem lời giải Bài 5

• $20x + 10y \ge 100 \Leftrightarrow 2x + y \ge 10$ ($x, y \ge 0$).

• Với $x = 3, y = 5$: $2(3) + 5 = 11 \ge 10$ (ĐÚNG) $\Rightarrow$ Đủ nhu cầu đạm.