Ôn chương 1 - Toán 10 — Sách Toán THPT

I. Hệ thống lý thuyết trọng tâm Chương I

⚡ Hệ thống kiến thức Mệnh đề & Tập hợp

Mệnh đề toán học: Khẳng định đúng hoặc sai. Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Điều kiện cần - đủ: $P \Rightarrow Q$ ($P$: đủ, $Q$: cần). $P \Leftrightarrow Q$ ($P$: cần và đủ để có $Q$).
Ký hiệu $\forall, \exists$: $\overline{\forall x, P(x)} \equiv \exists x, \bar{P}(x)$; $\overline{\exists x, P(x)} \equiv \forall x, \bar{P}(x)$.
Các phép toán tập hợp: Giao $A \cap B$, Hợp $A \cup B$, Hiệu $A \setminus B$, Phần bù $C_U A$.
Các tập hợp số: Khoảng $(a;b)$, Đoạn $[a;b]$, Nửa khoảng $[a;b)$, $(a;b]$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Sơ đồ Venn tổng quan quan hệ giữa các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số thực $mathbb{N} subset mathbb{Z} subset mathbb{Q} subset mathbb{R}$.

💡 Mô phỏng 1: Các vòng tròn đồng tâm biểu diễn quan hệ bao hàm giữa N, Z, Q, R.

III. Các dạng toán ôn tập tổng hợp (Mỗi dạng kèm 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Mệnh đề & Mệnh đề phủ định (chứa ∀, ∃)

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Phủ định ký hiệu $\forall \to \exists$, $\exists \to \forall$, đổi dấu quan hệ $= \to \ne, > \to \le, < \to \ge$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Phủ định mệnh đề với mọi)

Lập mệnh đề phủ định của $P: "\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0"$.

💡Xem lời giải

• $\bar{P}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \le 0"$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Phủ định mệnh đề tồn tại)

Lập mệnh đề phủ định của $Q: "\exists n \in \mathbb{N}, n^2 = n"$.

💡Xem lời giải

• $\bar{Q}: "\forall n \in \mathbb{N}, n^2 \ne n"$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Xét tính đúng sai)

Xét tính đúng sai của $R: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0"$.

💡Xem lời giải

• Với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $x^2 + 1 \ge 1 > 0$, không tồn tại $x$ để $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow$ Mệnh đề $R$ SAI.

Dạng 2: Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo & Điều kiện cần - đủ

📌 Phương pháp giải Dạng 2

$P \Rightarrow Q$: $P$ là điều kiện đủ để có $Q$; $Q$ là điều kiện cần để có $P$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Phát biểu điều kiện đủ)

Phát biểu mệnh đề "Nếu $a \cdot b = 0$ thì $a = 0$ hoặc $b = 0$" dưới dạng điều kiện đủ.

💡Xem lời giải

• "$a \cdot b = 0$ là điều kiện đủ để $a = 0$ hoặc $b = 0$".

🔍 Ví dụ 2.2 (Phát biểu điều kiện cần)

Phát biểu định lý: "Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3" dưới dạng điều kiện cần.

💡Xem lời giải

• "Chia hết cho 3 là điều kiện cần để một số chia hết cho 9".

🔍 Ví dụ 2.3 (Mệnh đề đảo)

Nêu mệnh đề đảo của "Nếu $x > 2$ thì $x^2 > 4$". Cho biết tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.

💡Xem lời giải

• Mệnh đề đảo: "Nếu $x^2 > 4$ thì $x > 2$".

• Mệnh đề đảo này SAI (vì có thể $x = -3 < 2$ nhưng $(-3)^2 = 9 > 4$).

Dạng 3: Liệt kê & Tính chất đặc trưng của tập hợp

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Giải PT/BPT hoặc tìm quy luật chung của phần tử tập hợp.

🔍 Ví dụ 3.1 (Liệt kê tập hợp nghiệm)

Viết tập hợp $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid (2x + 1)(x^2 - 4) = 0\}$ dưới dạng liệt kê.

💡Xem lời giải

• Nghiệm: $x = -1/2$ (loại do $\notin \mathbb{Z}$), $x = 2, x = -2$.

• $A = \{-2, 2\}$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Liệt kê tập hợp số tự nhiên)

Viết tập $B = \{n \in \mathbb{N} \mid n^2 < 15\}$ dưới dạng liệt kê.

💡Xem lời giải

• Các số tự nhiên có bình phương $< 15$ là $0, 1, 2, 3$.

• $B = \{0, 1, 2, 3\}$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Nêu tính chất đặc trưng)

Nêu tính chất đặc trưng cho $C = \{1, 4, 9, 16, 25\}$.

💡Xem lời giải

• $C = \{n^2 \mid n \in \mathbb{N}^*, n \le 5\}$.

Dạng 4: Các phép toán Giao, Hợp, Hiệu, Phần bù

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Áp dụng định nghĩa các phép toán tập hợp trên tập hợp hữu hạn phần tử.

🔍 Ví dụ 4.1 (Giao và Hợp tập hợp hữu hạn)

Cho $A = \{a, b, c, d\}$ và $B = \{c, d, e, f\}$. Tìm $A \cap B$ và $A \cup B$.

💡Xem lời giải

• $A \cap B = \{c, d\}$. $A \cup B = \{a, b, c, d, e, f\}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Hiệu hai tập hợp)

Cho $A = \{1, 2, 3, 4\}$ và $B = \{2, 4, 6\}$. Tìm $A \setminus B$ và $B \setminus A$.

💡Xem lời giải

• $A \setminus B = \{1, 3\}$. $B \setminus A = \{6\}$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Phần bù của tập hợp)

Cho $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ và $A = \{1, 3, 5\}$. Tìm $C_U A$.

💡Xem lời giải

• $C_U A = U \setminus A = \{0, 2, 4\}$.

Dạng 5: Phép toán trên các tập hợp số (Khoảng, Đoạn)

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Sử dụng biểu diễn trục số để thực hiện các phép toán Giao, Hợp, Hiệu trên các khoảng số.

🔍 Ví dụ 5.1 (Giao và Hợp khoảng số)

Cho $A = (-4; 3]$ và $B = (1; 6)$. Tìm $A \cap B$ và $A \cup B$.

💡Xem lời giải

• $A \cap B = (1; 3]$. $A \cup B = (-4; 6)$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Hiệu hai khoảng số)

Cho $A = [-2; 4]$ và $B = (0; +\infty)$. Tìm $A \setminus B$.

💡Xem lời giải

• $A \setminus B = [-2; 0]$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Phần bù của nửa khoảng)

Tìm phần bù của nửa khoảng $A = (-\infty; 3]$ trong $\mathbb{R}$.

💡Xem lời giải

• $C_{\mathbb{R}} A = \mathbb{R} \setminus (-\infty; 3] = (3; +\infty)$.

Dạng 6: Bài toán ứng dụng Sơ đồ Venn & Thực tế

📌 Phương pháp giải Dạng 6

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

🔍 Ví dụ 6.1 (Đếm học sinh chơi thể thao)

Lớp 10A1 có 45 học sinh, 28 em thích bóng đá, 22 em thích bóng rổ, 10 em thích cả hai. Có bao nhiêu em không thích môn nào?

💡Xem lời giải

• $n(A \cup B) = 28 + 22 - 10 = 40$ em thích ít nhất 1 môn.

• Số em không thích môn nào: $45 - 40 = 5$ em.

🔍 Ví dụ 6.2 (Thống kê kết quả thi)

Trong một đợt thi học sinh giỏi, 30 em đạt giải Toán, 25 em đạt giải Lý, 15 em đạt cả hai giải. Tính tổng số học sinh đạt giải.

💡Xem lời giải

• $N = 30 + 25 - 15 = 40$ học sinh đạt giải.

🔍 Ví dụ 6.3 (Khảo sát thị trường sản phẩm)

Khảo sát 80 khách hàng mua sắm: 50 người mua rau xanh, 45 người mua trái cây, 25 người mua cả hai. Có bao nhiêu người không mua cả rau xanh lẫn trái cây?

💡Xem lời giải

• Mua ít nhất 1 loại: $50 + 45 - 25 = 70$ người.

• Không mua loại nào: $80 - 70 = 10$ người.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề **SAI**?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Phủ định của mệnh đề $P: "\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 > 0"$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid (x - 1)(x + 2)(x^2 + 4) = 0\}$. Số phần tử của tập hợp $A$ là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho hai tập hợp $A = [-2; 3)$ và $B = [1; 5]$. Giao của hai tập hợp $A \cap B$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho hai tập hợp $A = (-\infty; 2]$ và $B = (-1; 4)$. Hợp của hai tập hợp $A \cup B$ là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho hai tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4; 5\}$ và $B = \{2; 4; 6\}$. Tập hiệu $A \setminus B$ là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Phần bù của nửa khoảng $(-\infty; 5]$ trong tập số thực $\mathbb{R}$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Trong các mệnh đề kéo theo sau, mệnh đề nào là mệnh đề **ĐÚNG**?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho hai mệnh đề: $P$: "Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành" và $Q$: "Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường". Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Cho tập hợp $X = \{1; 2; 3; 4; 5\}$. Số tập hợp con gồm đúng $2$ phần tử của tập hợp $X$ là:

Câu 11:🎲 Câu hỏi động

Tập hợp nào dưới đây là **tập hợp rỗng**?

Câu 12:🎲 Câu hỏi động

Cho hai nửa khoảng $A = [-3; 4)$ và $B = [1; +\infty)$. Tập hiệu $A \setminus B$ là:

Đúng / Sai

Câu 13Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề logic và mệnh đề toán học sau:

a)Mệnh đề: "$\pi > 3{,}14$" là một mệnh đề đúng.

b)Phủ định của mệnh đề "$\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + 1$ không chia hết cho $3$" là "$\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + 1$ chia hết cho $3$".

c)Mệnh đề kéo theo: "Nếu $1 > 2$ thì $2 > 3$" là một mệnh đề sai.

d)"Tam giác $ABC$ có ba góc bằng nhau" là điều kiện cần và đủ để "tam giác $ABC$ là tam giác đều".

Đúng / Sai

Câu 14Cho hai tập hợp con của tập số thực $\mathbb{R}$ là $A = [-2; 3]$ và $B = (1; 6)$. Xét tính đúng hay sai của các khẳng định sau:

a)Giao của hai tập hợp là $A \cap B = (1; 3]$.

b)Hợp của hai tập hợp là $A \cup B = [-2; 6)$.

c)Tập hiệu $A \setminus B = [-2; 1]$.

d)Phần bù của $A$ trong $\mathbb{R}$ là $C_{\mathbb{R}} A = (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

Đúng / Sai

Câu 15Cho tập hợp $E = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x \le 3\}$. Xét tính đúng hay sai của các phát biểu sau:

a)Tập $E$ viết dưới dạng liệt kê các phần tử là $E = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$.

b)Số phần tử của tập hợp $E$ là $6$.

c)Tập hợp $E$ có tất cả $64$ tập hợp con.

d)Tập hợp $F = \{x \in E \mid x > 0\}$ có đúng $4$ phần tử.

Đúng / Sai

Câu 16Một lớp $10$ có $40$ học sinh. Kết thúc học kỳ I, có $25$ bạn đạt loại Khá trở lên môn Toán, $22$ bạn đạt loại Khá trở lên môn Ngữ văn, trong đó có $15$ bạn đạt loại Khá trở lên ở cả hai môn này. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:

a)Số học sinh chỉ đạt loại Khá trở lên môn Toán (không đạt môn Văn) là $10$ học sinh.

b)Số học sinh chỉ đạt loại Khá trở lên môn Văn (không đạt môn Toán) là $7$ học sinh.

c)Số học sinh đạt loại Khá trở lên ít nhất một trong hai môn là $32$ học sinh.

d)Số học sinh không đạt loại Khá trở lên ở cả hai môn là $10$ học sinh.

Câu 17:Một lô hàng gồm $200$ vi mạch điện tử được kiểm tra chất lượng. Mệnh đề $P(x)$: "Vi mạch $x$ đạt chuẩn nếu thời gian đáp ứng tín hiệu không vượt quá $5\text{ ns}$". Qua đo đạc thực tế, có đúng $192$ vi mạch thỏa mãn mệnh đề $P(x)$. Tỉ lệ phần trăm vi mạch đạt chuẩn của lô hàng bằng bao nhiêu phần trăm?

Câu 18:Trong một trường học có $150$ học sinh đăng ký các môn thể thao: Bóng chuyền và Cầu lông. Biết có $80$ học sinh đăng ký môn Bóng chuyền, $95$ học sinh đăng ký môn Cầu lông, và mỗi học sinh đều đăng ký ít nhất một môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh đăng ký thi đấu cả hai môn?

Câu 19:Khảo sát $300$ sinh viên về việc sử dụng hai nhà mạng viễn thông $V$ và $M$. Kết quả có $180$ người dùng mạng $V$, $160$ người dùng mạng $M$, và có $70$ người dùng đồng thời cả hai mạng. Hỏi có bao nhiêu sinh viên không dùng nhà mạng nào trong hai nhà mạng này?

Câu 20:Một trường THPT cấp học bổng tài năng cho các học sinh thỏa mãn: "Điểm thi tuyển sinh từ $27$ điểm trở lên HOẶC đạt giải Nhất học sinh giỏi cấp tỉnh". Kỳ thi vừa qua có $45$ em đạt điểm từ $27$ trở lên, $12$ em đạt giải Nhất cấp tỉnh, trong đó có $5$ em vừa đạt giải Nhất vừa đạt từ $27$ điểm trở lên. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh được nhận học bổng?

Câu 21:Tại một trạm khí tượng thủy văn, trong tháng 6 (có đúng $30$ ngày), người ta thống kê: có $18$ ngày có mưa vào buổi sáng, $15$ ngày có mưa vào buổi chiều, trong đó có $8$ ngày mưa cả sáng lẫn chiều. Hỏi trong tháng 6 đó có bao nhiêu ngày hoàn toàn không có mưa (cả sáng và chiều đều tạnh ráo)?

Câu 22:Một công ty phần mềm phỏng vấn $80$ ứng viên lập trình. Yêu cầu ứng viên phải biết ít nhất một trong hai ngôn ngữ: Python hoặc Java. Kết quả có $55$ người biết Python và $45$ người biết Java. Mỗi ứng viên đều biết ít nhất một ngôn ngữ. Hỏi có bao nhiêu ứng viên chỉ biết ngôn ngữ Python mà không biết Java?

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Chương I

📝 Bài tập tự luận Ôn tập Chương I (5 Bài lớn)

Bài 1. Phủ định mệnh đề: $P: "\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 4x + 5 > 0"$ và xét tính đúng sai của $P$ và $\bar{P}$.

💡Xem lời giải Bài 1

• $\bar{P}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 4x + 5 \le 0"$.

• $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \ge 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R} \Rightarrow P$ ĐÚNG, $\bar{P}$ SAI.

Bài 2. Viết tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} \mid (x^2 - 4)(2x^2 - 5x + 3) = 0\}$ dưới dạng liệt kê các phần tử.

💡Xem lời giải Bài 2

• $x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. $2x^2 - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3/2$.

• $A = \{-2, 1, 3/2, 2\}$.

Bài 3. Cho hai tập hợp số $A = (-3; 2]$ và $B = [0; 4)$. Tìm $A \cap B, A \cup B, A \setminus B, B \setminus A$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $A \cap B = [0; 2]$. $A \cup B = (-3; 4)$.

• $A \setminus B = (-3; 0)$. $B \setminus A = (2; 4)$.

Bài 4. Cho $A = (m-1; m+3]$ và $B = [-2; 5]$. Tìm tất cả các giá trị của m để $A \subset B$.

💡Xem lời giải Bài 4

• $A \subset B \Leftrightarrow \begin{cases} m - 1 \ge -2 \\ m + 3 \le 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -1 \\ m \le 2 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \le m \le 2$.

Bài 5. Khảo sát 100 doanh nghiệp vừa và nhỏ: 65 doanh nghiệp áp dụng chuyển đổi số, 50 doanh nghiệp áp dụng công nghệ xanh, 30 doanh nghiệp áp dụng cả hai. Hỏi có bao nhiêu doanh nghiệp chưa áp dụng cả hai giải pháp trên?

💡Xem lời giải Bài 5

• Áp dụng ít nhất 1 giải pháp: $65 + 50 - 30 = 85$ doanh nghiệp.

• Chưa áp dụng giải pháp nào: $100 - 85 = 15$ doanh nghiệp.

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương I

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm