Bài 1: Mệnh đề toán học

• a) Là mệnh đề toán học (ĐÚNG, vì 19 chỉ chia hết cho 1 và 19).

• b) Là mệnh đề chứa biến $x$ (chưa khẳng định tính đúng sai khi chưa biết giá trị của $x$).

• c) Là câu mệnh lệnh $\Rightarrow$ Không phải là mệnh đề.

• d) Là mệnh đề toán học (ĐÚNG, vì hai số chẵn liên tiếp $2k(2k+2) = 4k(k+1)$, tích $k(k+1)$ chia hết cho 2 nên tổng thể chia hết cho 8).

• a) $\bar{P}: "2024 \text{ không chia hết cho } 4"$. Vì $P$ đúng nên $\bar{P}$ SAI.

• b) $\bar{Q}: "5^2 + 12^2 = 13^2"$. Vì $25 + 144 = 169 = 13^2$ đúng nên $\bar{Q}$ ĐÚNG.

• c) $\bar{R}: "2 \text{ không phải là số nguyên tố nhỏ nhất}"$. Vì $R$ đúng nên $\bar{R}$ SAI.

• a) $\bar{P}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - 4x + 4 < 0"$. Vì $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \ge 0$ với mọi $x$ nên $P$ đúng $\Rightarrow \bar{P}$ SAI.

• b) $\bar{Q}: "\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 \text{ không chia hết cho } 3"$. Với số tự nhiên $n$, $n^2$ chia 3 dư 0 hoặc 1, do đó $n^2+1$ chia 3 dư 1 hoặc 2 (không bao giờ chia hết cho 3). Vậy $\bar{Q}$ ĐÚNG.

• c) $\bar{R}: "\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0"$. Vì $x^2+1 \ge 1 > 0$ với mọi $x$ nên $R$ đúng $\Rightarrow \bar{R}$ SAI.

• a) $P \Rightarrow Q$: "Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $AB^2 + AC^2 = BC^2$" (ĐÚNG, Định lý Pitago). Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu tam giác $ABC$ có $AB^2 + AC^2 = BC^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$" (ĐÚNG, Định lý Pitago đảo).

• b) $P \Rightarrow Q$: "Nếu số tự nhiên $n$ có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì $n$ chia hết cho 9" (ĐÚNG). Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 9 thì $n$ có tổng các chữ số chia hết cho 9" (ĐÚNG).

• a) Điều kiện đủ: "Tứ giác $ABCD$ là hình thoi là điều kiện đủ để $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc".
Điều kiện cần: "Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc là điều kiện cần để $ABCD$ là hình thoi".

• b) Điều kiện đủ: "$a > b$ là điều kiện đủ để $a + c > b + c$".
Điều kiện cần: "$a + c > b + c$ là điều kiện cần để $a > b$".

• Phát biểu: "Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi $ABCD$ có ba góc vuông" (hoặc "Tứ giác $ABCD$ có ba góc vuông là điều kiện cần và đủ để $ABCD$ là hình chữ nhật").

• Mệnh đề tương đương này ĐÚNG vì:
- Chiều thuận: Hình chữ nhật có 4 góc vuông $\Rightarrow$ có 3 góc vuông.
- Chiều đảo: Tứ giác có 3 góc vuông thì góc thứ tư bằng $360^\circ - (90^\circ \times 3) = 90^\circ \Rightarrow$ Tứ giác có 4 góc vuông $\Rightarrow$ là hình chữ nhật.

• Giả sử ngược lại, không có số nào nhỏ hơn 1, tức là cả hai số $a$ và $b$ đều lớn hơn hoặc bằng 1 ($a \ge 1$ và $b \ge 1$).

• Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: $a + b \ge 1 + 1 = 2$.

• Kết quả $a + b \ge 2$ mâu thuẫn với giả thiết $a + b < 2$.

• Do đó, giả thiết phản chứng là sai. Mệnh đề ban đầu được chứng minh: Ít nhất một trong hai số $a, b$ phải nhỏ hơn 1.

• Ta phân tích biểu thức: $A = n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$.

• Nhận xét: $A$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp $(n-1), n, (n+1)$.

• Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có ít nhất một số chẵn (chia hết cho 2) và đúng một số chia hết cho 3.

• Vì $\gcd(2, 3) = 1$ nên tích $A$ chia hết cho $2 \times 3 = 6$. Vậy $P(n)$ luôn đúng với mọi $n \ge 1$.

• Giả sử ngược lại $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ, nghĩa là $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{N}^*$ và $\gcd(a, b) = 1$ (phân số tối giản).

• Bình phương 2 vế: $2 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 2b^2 \Rightarrow a^2$ là số chẵn $\Rightarrow a$ là số chẵn.

• Đặt $a = 2k (k \in \mathbb{N}^*)$, thay vào ta có $(2k)^2 = 2b^2 \Rightarrow 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2 \Rightarrow b^2$ chẵn $\Rightarrow b$ chẵn.

• Suy ra cả $a$ và $b$ cùng chia hết cho 2, mâu thuẫn với điều kiện $\gcd(a, b) = 1$.

• Vậy giả thiết phản chứng sai $\Rightarrow \sqrt{2}$ là số vô tỉ (ĐPCM).

• a) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu máy điều hòa kích hoạt làm mát $24^\circ\text{C}$ thì nhiệt độ phòng vượt quá $30^\circ\text{C}$ và có người trong phòng".
Phủ định của quy tắc: "Nhiệt độ phòng vượt quá $30^\circ\text{C}$ và có người trong phòng nhưng máy điều hòa không kích hoạt làm mát $24^\circ\text{C}$".

• b) Trong thực tế, máy điều hòa có thể kích hoạt làm mát khi người dùng chủ động bấm điều khiển từ xa, hoặc theo kịch bản hẹn giờ sẵn, mặc dù nhiệt độ phòng chưa tới $30^\circ\text{C}$. Vì vậy mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ không đúng hoàn toàn.

• c) $P$ là điều kiện đủ để $Q$: chỉ cần thỏa mãn $P$ thì hệ thống bắt buộc bật điều hòa $Q$. Nhưng $Q$ kích hoạt chưa chắc duy nhất do $P$ (vì $Q$ có thể do các điều kiện đủ khác trigger). Việc phân biệt giúp kỹ sư tránh nhầm lẫn giữa điều kiện kích hoạt duy nhất (cần và đủ $\Leftrightarrow$) với điều kiện kích hoạt một chiều ($\Rightarrow$).