🎲 Công cụ tương tác — Toán 10 Chương 9
Xác suất
Xác suất cổ điển · Biến cố đối · Hợp & Giao · Điều kiện · Độc lập · Bernoulli
Chọn chủ đề, nhập dữ liệu — kết quả, sơ đồ Venn và bảng phân phối hiển thị ngay theo chuẩn SGK Kết nối tri thức.
Không gian mẫu gồm các kết quả đồng khả năng. Xác suất của biến cố là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho và tổng số kết quả.
1Công thức:
2Thay số:
3Rút gọn (chia đôi cho ):
💡Dạng thập phân: 16.67%
⚡ Ví dụ nhanh
📖 Lý thuyết tóm tắt
🎲 Xác suất cổ điển
- Không gian mẫu $\Omega$: tập hợp tất cả kết quả có thể, đồng khả năng.
- Biến cố $A \subseteq \Omega$: tập các kết quả thuận lợi cho $A$.
- $$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$
- Luôn có: $0 \leq P(A) \leq 1$, $\; P(\Omega)=1$, $\; P(\emptyset)=0$.
🔁 Biến cố đối
- $\bar{A}$ xảy ra $\Leftrightarrow$ $A$ không xảy ra.
- $$P(A) + P(\bar{A}) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
- Mẹo: Khi tính "ít nhất một" → dùng biến cố đối "không có cái nào".
∪∩ Hợp & Giao biến cố
- Tổng quát: $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
- Xung khắc ($A\cap B=\emptyset$): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
- $A$ và $B$ xung khắc $\Rightarrow$ không thể đồng thời xảy ra.
🔗 Xác suất có điều kiện
- $$P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \quad (P(B)>0)$$
- Công thức nhân: $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
- Nếu độc lập: $P(A|B)=P(A)$.
⚡ Biến cố độc lập
- $A, B$ độc lập $\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
- Khi đó: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$
- Biến cố đối của các biến cố độc lập cũng độc lập với nhau.
📈 Dãy Bernoulli
- $n$ phép thử độc lập, mỗi lần xác suất thành công là $p$.
- $$P(X=k) = C_n^k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$
- Kỳ vọng: $E(X)=np$. Phương sai: $D(X)=np(1-p)$.
📋 Bảng tóm tắt công thức xác suất
| Công thức | Điều kiện | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$ | Đồng khả năng | Xác suất cổ điển |
| $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ | — | Biến cố đối |
| $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ | Tổng quát | Công thức cộng |
| $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$ | $A\cap B=\emptyset$ | Xung khắc |
| $P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ | $P(B)>0$ | Có điều kiện |
| $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ | A, B độc lập | Công thức nhân |
| $P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$ | $X\sim B(n,p)$ | Bernoulli |