Cho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm $F(x)$ và thỏa mãn $x f^{\prime}(x)=f(x)-x f^{2}(x)$ với mọi $x \in(0 ;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $F(1)=\ln 2$. Tính $F(2)$.A. $2 \ln 2$.B. $\ln 5$.C. $3 \ln 2$.D. $2 \ln 3$.
VDC Toan 2023
Cho khối nón đỉnh $S$ có đường cao bằng 2a. Mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh $S$ nhưng không chứa trục của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $A B=4 a$. Biết mặt phẳng $(P)$ tạo với đáy nón một góc $60^{\circ}$, thể tính của khối nón đã cho bằng
Cho khối nón đỉnh $S$ có đường cao bằng 2a. Mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh $S$ nhưng không chứa trục của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $A B=4 a$. Biết mặt phẳng $(P)$ tạo với đáy nón một góc $60^{\circ}$, thể tính của khối nón […]
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x – 16}}} dx = a\pi \ln \frac{b}{c},\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Q},0 < b < c < 8} \right)\). Giá trị của biểu thức \(40a + 3b – {c^2}\)là
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x – 16}}} dx = a\pi \ln \frac{b}{c},\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Q},0 < b < c < 8} \right)\). Giá trị của biểu thức \(40a + 3b – {c^2}\)là A.\(17\). B.\(13\). C.\( – 9\). D.\( – 11\). Lời giải: Đặt \(t = \pi – x \Leftrightarrow x = […]
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { – \frac{1}{2};\,4} \right)\) và \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^0 {\sin 2x.f’\left( {\sin x} \right)\,{\rm{d}}x} \).
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( { – \frac{1}{2};\,4} \right)\) và \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( t \right)\,{\rm{d}}t = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{6}}^0 {\sin 2x.f’\left( {\sin x} \right)\,{\rm{d}}x} \). A. \(I […]
Biết\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} = a\frac{\pi }{4} + b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng
Biết\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} = a\frac{\pi }{4} + b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng A. \(1\). B. \(4\). C. \(5\). D. \(10\). Lời giải: Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} \). Đặt \(x = […]
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { – 5;8} \right]\), biết\(f\left( { – 2} \right) + f\left( 2 \right) = \frac{{70}}{3}\). Đồ thị của \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ được xác định là Parabol và đường thẳng trên đoạn đó. .Giá trị \(\int\limits_{ – 5}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { – 5;8} \right]\), biết \(f\left( { – 2} \right) + f\left( 2 \right) = \frac{{70}}{3}\). Đồ thị của \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ được xác định là Parabol và đường thẳng trên đoạn đó. .Giá trị […]
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\ln x\) , \(x = 2\) và trục hoành là \(S = \frac{{a\ln b}}{c} – \frac{d}{{{c^2}}}\) với \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(a + b + c +d\)
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\ln x\) , \(x = 2\) và trục hoành là \(S = \frac{{a\ln b}}{c} – \frac{d}{{{c^2}}}\) với \(a,b,c,d \in {\mathbb{N}^*}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(a + b + c +d\) A. \(13\). B. \(10\). C. \(20\). D. […]
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(f’\left( x \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ theo thứ tự từ trái sang phải trên trục hoành là \(a,0,\,b,\,c\) \(\left( {a < 0 < b < c} \right)\) như hình vẽ.Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(f’\left( x \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ theo thứ tự từ trái sang phải trên trục hoành là \(a,0,\,b,\,c\) \(\left( {a < 0 < b < c} \right)\) […]
Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 8\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Người ra treo một tâm phông hình chữ nhật có hai đỉnh \(M,\,\,N\)nằm trên Parabol và hai đỉnh \(P,\,\,Q\) nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho \(1\,\,{{\rm{m}}^2}\) cần số tiền mua hoa là \(200.000\) đồng, biết \(MN = 4\,\,{\rm{m}},\,\,MQ = 6\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?
Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 8\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Người ra treo một tâm phông hình chữ nhật có hai đỉnh \(M,\,\,N\)nằm trên Parabol và hai đỉnh \(P,\,\,Q\) nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) […]
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 16\), \(\,\int\limits_0^2 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}dx = \frac{{1814}}{{15}}} \) và \(\int\limits_0^4 {f\left( {\sqrt x } \right)dx} = \frac{1}{3}\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),\,\,x = 1,\,\,x = 4\) và trục hoành.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = 16\), \(\,\int\limits_0^2 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}dx = \frac{{1814}}{{15}}} \) và \(\int\limits_0^4 {f\left( {\sqrt x } \right)dx} = \frac{1}{3}\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y […]