Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $f(x)=3 f(2 x)$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(4)=3$ và $F(2)+4 F(8)=0$. Khi đó $\int_{0}^{2} f(3 x+2) \mathrm{d} x$ bằngA. 5 .B. -5 .C. 3 .D. -3 . … [Đọc thêm...] vềCho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $f(x)=3 f(2 x)$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(4)=3$ và $F(2)+4 F(8)=0$. Khi đó $\int_{0}^{2} f(3 x+2) \mathrm{d} x$ bằng
Trắc nghiệm Tích phân
Cho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm $F(x)$ và thỏa mãn $x f^{\prime}(x)=f(x)-x f^{2}(x)$ với mọi $x \in(0 ;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $F(1)=\ln 2$. Tính $F(2)$.
Cho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm $F(x)$ và thỏa mãn $x f^{\prime}(x)=f(x)-x f^{2}(x)$ với mọi $x \in(0 ;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $F(1)=\ln 2$. Tính $F(2)$.A. $2 \ln 2$.B. $\ln 5$.C. $3 \ln 2$.D. $2 \ln 3$. … [Đọc thêm...] vềCho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm $F(x)$ và thỏa mãn $x f^{\prime}(x)=f(x)-x f^{2}(x)$ với mọi $x \in(0 ;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $F(1)=\ln 2$. Tính $F(2)$.
Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng
Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng A. \(\frac{4}{3}\). B. \(16\). C. \(\frac{{26}}{3}\). D. \(8\). Lời giải: Cách 1: Gọi các điểm \(A,B,C,D\) như hình vẽ. Ta có \(\frac{{OB}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{OA}}{{DC}} = \frac{1}{5}\) mà \(OB + B{\rm{D}} = 4\) nên \(OB = … [Đọc thêm...] vềCho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2023} \right)\) bằng
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2023} \right)\) bằng A. \(2022\frac{1}{{2024}}\). B. … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2023} \right)\) bằng
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng A. \(\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2020}} - 2021}}{{2020}}\). B. \(\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} + … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng
Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} – 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào?
Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} - 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào? A. \(\left( {1;2} \right)\). B. … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} – 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào?
Biết \(\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}{\pi ^2} + c\pi \) (với \(a,\,b,\,c\) là các số tự nhiên, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(a + b + c\)bằng
Biết \(\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}{\pi ^2} + c\pi \) (với \(a,\,b,\,c\) là các số tự nhiên, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(a + b + c\)bằng A. \(6\). B. \(8\). C. \(5\). D. \(4\). Lời giải: Đặt \(I = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} \). Ta có: \(I = … [Đọc thêm...] vềBiết \(\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} = \frac{a}{b}{\pi ^2} + c\pi \) (với \(a,\,b,\,c\) là các số tự nhiên, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(a + b + c\)bằng
Biết tích phân \({\rm{I}} = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln {{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^x} + 2023x}}{{\ln \left[ {{{\left( {2e{x^2} + e} \right)}^{2{x^2} + 1}}} \right]}}} {\rm{dx = }}\,\,a{\rm{.ln3 + }}\,b{\rm{.ln}}\left( {\frac{{\ln 9e}}{{\ln 3e}}} \right)\) . Với \(a,\,b\, \in \mathbb{Q}\) và \(a,\,b\) là các phân số tối giản. Tính \(P = 8a + 4b\)
Biết tích phân \({\rm{I}} = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln {{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^x} + 2023x}}{{\ln \left[ {{{\left( {2e{x^2} + e} \right)}^{2{x^2} + 1}}} \right]}}} {\rm{dx = }}\,\,a{\rm{.ln3 + }}\,b{\rm{.ln}}\left( {\frac{{\ln 9e}}{{\ln 3e}}} \right)\) . Với \(a,\,b\, \in \mathbb{Q}\) và \(a,\,b\) là các phân số tối giản. Tính \(P = 8a + 4b\) A. \(P = 1012\) . B. … [Đọc thêm...] vềBiết tích phân \({\rm{I}} = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln {{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^x} + 2023x}}{{\ln \left[ {{{\left( {2e{x^2} + e} \right)}^{2{x^2} + 1}}} \right]}}} {\rm{dx = }}\,\,a{\rm{.ln3 + }}\,b{\rm{.ln}}\left( {\frac{{\ln 9e}}{{\ln 3e}}} \right)\) . Với \(a,\,b\, \in \mathbb{Q}\) và \(a,\,b\) là các phân số tối giản. Tính \(P = 8a + 4b\)
Biết \(f\left( x \right) = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} \) và \(f\left( 0 \right) = – \frac{1}{2}e\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng
Biết \(f\left( x \right) = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} \) và \(f\left( 0 \right) = - \frac{1}{2}e\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng A. \( - \frac{1}{2}{e^2}\). B. \(\frac{1}{2}e\). C. \(0\). D. \(\frac{1}{2}{e^2}\). Lời giải: Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dt\). Lại có \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2} = t - … [Đọc thêm...] vềBiết \(f\left( x \right) = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} \) và \(f\left( 0 \right) = – \frac{1}{2}e\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\).
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\). A. \(P = 1\). B. \(P = 4\). C. \(P = 3\). D. \(P = 2\). Lời giải: Cách 1: Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi … [Đọc thêm...] vềCho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\).