Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $f(x)=3 f(2 x)$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(4)=3$ và $F(2)+4 F(8)=0$. Khi đó $\int_{0}^{2} f(3 x+2) \mathrm{d} x$ bằngA. 5 .B. -5 .C. 3 .D. -3 . … [Đọc thêm...] vềCho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $f(x)=3 f(2 x)$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(4)=3$ và $F(2)+4 F(8)=0$. Khi đó $\int_{0}^{2} f(3 x+2) \mathrm{d} x$ bằng
Trắc nghiệm Tích phân
Cho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm $F(x)$ và thỏa mãn $x f^{\prime}(x)=f(x)-x f^{2}(x)$ với mọi $x \in(0 ;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $F(1)=\ln 2$. Tính $F(2)$.
Cho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm $F(x)$ và thỏa mãn $x f^{\prime}(x)=f(x)-x f^{2}(x)$ với mọi $x \in(0 ;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $F(1)=\ln 2$. Tính $F(2)$.A. $2 \ln 2$.B. $\ln 5$.C. $3 \ln 2$.D. $2 \ln 3$. … [Đọc thêm...] vềCho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm $F(x)$ và thỏa mãn $x f^{\prime}(x)=f(x)-x f^{2}(x)$ với mọi $x \in(0 ;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $F(1)=\ln 2$. Tính $F(2)$.
Biết \(f\left( x \right) = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} \) và \(f\left( 0 \right) = – \frac{1}{2}e\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng
Biết \(f\left( x \right) = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} \) và \(f\left( 0 \right) = - \frac{1}{2}e\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng A. \( - \frac{1}{2}{e^2}\). B. \(\frac{1}{2}e\). C. \(0\). D. \(\frac{1}{2}{e^2}\). Lời giải: Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dt\). Lại có \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2} = t - … [Đọc thêm...] vềBiết \(f\left( x \right) = \int {{x^3}{e^{{x^2} + 1}}dx} \) và \(f\left( 0 \right) = – \frac{1}{2}e\). Khi đó \(f\left( 1 \right)\) bằng
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\).
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\). A. \(P = 1\). B. \(P = 4\). C. \(P = 3\). D. \(P = 2\). Lời giải: Cách 1: Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi … [Đọc thêm...] vềCho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,b \in \mathbb{Q},\,\,a,b\)là các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = 4a + 2b\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng A. \(\sqrt {26} … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng
Tính tích phân \(\int\limits_0^1 {\max \left\{ {{e^x},{e^{1 – 2x}}} \right\}} dx\).
Tính tích phân \(\int\limits_0^1 {\max \left\{ {{e^x},{e^{1 - 2x}}} \right\}} dx\). A. \(e - 1\). B. \(\frac{3}{2}\left( {e - \sqrt[3]{e}} \right)\). C. \(e - \sqrt[3]{e}\). D. \(\frac{1}{2}\left( {e - \frac{1}{e}} \right)\). Lời giải: Ta có: \({e^x} \ge {e^{1 - 2x}} \Leftrightarrow x \ge 1 - 2x \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}\). Suy ra: \(\max \left\{ … [Đọc thêm...] vềTính tích phân \(\int\limits_0^1 {\max \left\{ {{e^x},{e^{1 – 2x}}} \right\}} dx\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 – 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số thực). Biết rằng \(f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { – 2} \right) = – 10\). Khi đó \(F\left( 3 \right)\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số thực). Biết rằng \(f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { - 2} \right) = - 10\). Khi đó \(F\left( 3 \right)\) bằng A. \(36 + … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 – 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số thực). Biết rằng \(f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { – 2} \right) = – 10\). Khi đó \(F\left( 3 \right)\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{2x + 1}}{{2x}}\ln \left( {x + 1} \right)\). Biết \(\int\limits_1^{17} {f\left( x \right){\rm{d}}x = a\ln 5 – 2\ln b + c} \) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\). Tính \(T = a – 3b + 2c\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{2x + 1}}{{2x}}\ln \left( {x + 1} \right)\). Biết \(\int\limits_1^{17} {f\left( x \right){\rm{d}}x = a\ln 5 - 2\ln b + c} \) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\). Tính \(T = a - … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{2x + 1}}{{2x}}\ln \left( {x + 1} \right)\). Biết \(\int\limits_1^{17} {f\left( x \right){\rm{d}}x = a\ln 5 – 2\ln b + c} \) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\). Tính \(T = a – 3b + 2c\).
Biết \(I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{a}\ln \frac{b}{c}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(T = ab
C.\)
Biết \(I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{a}\ln \frac{b}{c}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(T = ab C.\) A. \(T = 24\). B. \(P = 12\). C. \(T = 30\). D. \(T = - 24\). Lời giải Đặt \(t = {x^4} \Rightarrow dt = 4{x^3}dx\). Khi \(x = 1\) thì \(t = 1\), … [Đọc thêm...] vềBiết \(I = \int\limits_1^{\sqrt[4]{3}} {\frac{1}{{x({x^4} + 1)}}} dx = \frac{1}{a}\ln \frac{b}{c}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {\mathbb{N}^ * }\) và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(T = ab
C.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right) = x + 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Tích phân \(\int\limits_{2023}^{2025} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right) = x + 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Tích phân \(\int\limits_{2023}^{2025} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng A. \(4050\). B. \(\frac{{24283}}{{12}}\). C. \(\frac{{41}}{{12}}\). D. \(\frac{3}{2}\). Lời giải: Khi \(x \ge 0\), ta có: … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right) = x + 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Tích phân \(\int\limits_{2023}^{2025} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng