(Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng 2025) Một người đang điều khiển xe máy với vận tốc là $36\mathrm{\,\;km}/\mathrm{\,h}$ thì phát hiện đèn tín hiệu giao thông chuyển đỏ cách vị trí xe 80 m . Ba giây sau đó, xe máy bắt đầu giảm tốc với vận tốc được cho bởi $v_{1}\left(t\right)=at+b\left(\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\right),(a,b\in \mathbb{R},a<0)$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi xe bắt đầu giảm tốc. Khi xe máy đến vị trí đèn tín hiệu, đèn vẫn còn đỏ và xe dừng hẳn. Sau khi đèn chuyển xanh, xe tiếp tục di chuyển với vận tốc được cho bởi $v_{2}\left(t\right)=mt^{2}+nt\left(\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\right),(m,n\in \mathbb{R},m<0)$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đèn bắt đầu chuyển xanh. Cuối cùng, xe máy dừng lại tại một quán ăn trên đường. Biết rằng thời gian xe máy đi từ vị trí đèn tín hiệu đến quán ăn là 30 giây và vận tốc lớn nhất trên đoạn đường này là $54\mathrm{\,\;km}/\mathrm{\,h}$.

ĐỀ BÀI
(Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng 2025) Một người đang điều khiển xe máy với vận tốc là $36\mathrm{\,\;km}/\mathrm{\,h}$ thì phát hiện đèn tín hiệu giao thông chuyển đỏ cách vị trí xe 80 m . Ba giây sau đó, xe máy bắt đầu giảm tốc với vận tốc được cho bởi $v_{1}\left(t\right)=at+b\left(\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\right),(a,b\in \mathbb{R},a<0)$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi xe bắt đầu giảm tốc. Khi xe máy đến vị trí đèn tín hiệu, đèn vẫn còn đỏ và xe dừng hẳn. Sau khi đèn chuyển xanh, xe tiếp tục di chuyển với vận tốc được cho bởi $v_{2}\left(t\right)=mt^{2}+nt\left(\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\right),(m,n\in \mathbb{R},m<0)$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đèn bắt đầu chuyển xanh. Cuối cùng, xe máy dừng lại tại một quán ăn trên đường. Biết rằng thời gian xe máy đi từ vị trí đèn tín hiệu đến quán ăn là 30 giây và vận tốc lớn nhất trên đoạn đường này là $54\mathrm{\,\;km}/\mathrm{\,h}$.

Lời giải
a) Quãng đường xe máy đi được từ lúc bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất đến khi dừng hẳn tại vị trí đèn tín hiệu là 80 m .
b) Giá trị của hệ số $b$ là 10 .
c) Xe máy dừng hẳn tại vị trí đèn tín hiệu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất.
d) Khoảng cách từ vị trí đèn tín hiệu đến vị trí quán ăn là 200 m .
Lời giải
Đổi: $36\mathrm{\,\;km}/\mathrm{\,h}=10\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s};54\mathrm{\,\;km}/\mathrm{\,h}=15\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$.
a) Sai, Sau 3 giây xe máy đi được quãng đường là: $10.3=30\mathrm{\,\;m}$. Khi đó xe máy bắt đầu giảm tốc và quãng đường xe máy đi được từ lúc bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất đến khi dừng hẳn tại vị trí đèn tín hiệu là: $80-30=50\mathrm{\,\;m}$
b) Đúng, Khi xe bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất ta có: $v_{1}\left(0\right)=a\cdot 0+b=10\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\Rightarrow b=10$
c) Đúng, Ta có: $s\left(t\right)=\smallint v_{1}\left(t\right)dt=\smallint \left(at+b\right)dt=\dfrac{at^{2}}{2}+bt+C_{1}\left(\mathrm{\,\;m}\right)$,
Theo đề: $s_{1}\left(0\right)=0\Rightarrow C_{1}=0\Rightarrow s_{1}\left(t\right)=\dfrac{at^{2}}{2}+bt\left(\mathrm{\,\;m}\right)$. Khi xe dừng tại vị trí đèn tín hiệu thì thời gian đi được của xe kể từ khi giảm tốc lần thứ nhất là: $v\left(t\right)=0\Rightarrow at+10=0\Rightarrow t=\dfrac{-10}{a}\left(\mathrm{\,\;s}\right)$. Từ câu a ta có: $s_{1}\left(\dfrac{-10}{a}\right)=50\Rightarrow \dfrac{a}{2}\cdot \left(\dfrac{-10}{a}\right)^{2}+10\left(\dfrac{-10}{a}\right)=50\Rightarrow a=-1$ (thỏa). Do đó $t=\dfrac{-10}{-1}=10\left(\mathrm{\,\;s}\right)$
d) Sai, Khi xe dừng lại quán ăn khi xe máy bắt đầu đi tại vị trí đèn tín hiệu thì $v_{2}\left(30\right)=m\cdot 30^{2}+n\cdot 30=0$ $\Rightarrow 30m=-n\Rightarrow 60m=-2n$
Theo đề $v_{2\mathrm{\,max}}\left(\dfrac{-n}{2m}\right)=m\cdot \left(\dfrac{-n}{2m}\right)^{2}+n\cdot \dfrac{-n}{2m}=15\Rightarrow n^{2}+60m=0\Rightarrow n^{2}-2n=0$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{*{20}{l}}n=0\left(l\right)\\n=2\left(n\right)\Rightarrow m=\dfrac{-1}{15}\left(n\right)\end{array}\Rightarrow v_{2}\left(t\right)=\dfrac{-1}{15}t^{2}+2t\left(\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}\right)\Rightarrow s_{2}\left(t\right)=\smallint \;v_{2}\left(t\right)dt=\dfrac{-t^{3}}{45}+t^{2}+C_{2}\right. $
Theo đề: $s_{2}\left(0\right)=0\Rightarrow C_{2}=0\Rightarrow s_{2}\left(t\right)=\dfrac{-t^{3}}{45}+t^{2}\left(\mathrm{\,\;m}\right)$
Do đó khoảng cách từ vị trí đèn tín hiệu đến vị trí quán ăn là: $s_{2}\left(30\right)=300\mathrm{\,\;m}$.