Tập $S$ có $5$ số lẻ $\left\{ {41;\;43;\;45;\;47;\;49} \right\}$ và $4$ số chẵn $\left\{ {42;\;44;\;46;\;48} \right\}$\\
Số phần tử không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480$\\
Gọi biến cố $A$: “chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu”\\
Theo giả thiết ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A + B = 2M} \\
{A + C = 2P} \\
{B + C = 2N}\\
\end{array}} \right.$ (điều kiện để là một cấp số cộng ở ba bộ)
$ \Rightarrow A,B,C$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ và không lập thành 1 cấp số cộng\\
TH1: $A$, $B$, $C$ cùng lẻ:\\
Chọn $3$ số cùng lẻ có $C_5^3$ cách, loại $4$ bộ: $\left( {41,43,45} \right)$; $\left( {43,45,47} \right)$; $\left( {41,45,49} \right)$; $\left( {45,47,49} \right)$ (vì lập thành cấp cộng). Suy ra có $C_5^3 - 4 = 6$.\\
Hoán vị bộ $A$, $B$, $C$ có $3!$ cách xếp.\\
$ \Rightarrow $$6.3!$ cách xếp.\\
TH2: $A$, $B$, $C$ cùng chẵn:\\
Chọn $3$ số cùng chẵn có $C_4^3$ cách, loại $2$ bộ $\left( {42,44,46} \right)$; $\left( {44,46,48} \right)$(vì lập thành cấp cộng). Suy ra có $C_4^3 - 2 = 2$ cách\\
Hoán vị bộ $A$, $B$, $C$ có $3!$ cách xếp.\\
$ \Rightarrow 2.3!$ cách xếp.\\
Tổng cộng có: $6.3! + 2.3! = 48$ cách xếp $ \Rightarrow n\left( A \right) = 48$\\
Xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$$ = \dfrac{{48}}{{60480}} = \dfrac{1}{{1260}}$. Suy ra $a = \dfrac{1}{{1260}} \Rightarrow \dfrac{4}{a} = 5040$.