Một quần thể vi khuẩn A có số lượng cá thề là $P\left( t \right)$ sau $t$ phút quan sát được phát hiện thay đồi với tốc độ là: ${P}’\left( t \right)=a{{e}^{0.1t}}+150{{e}^{-0.03t}}$ (vi khuẩn/phút) $\left( a\in \mathbb{R} \right)$. Biết rằng lúc bắt đầu quan sát, quần thể có 200000 vi khuẩn và đạt tốc độ tăng trường là 350 vi khuẩn/phút.

ĐỀ BÀI
Một quần thể vi khuẩn A có số lượng cá thề là $P\left( t \right)$ sau $t$ phút quan sát được phát hiện thay đồi với tốc độ là: ${P}’\left( t \right)=a{{e}^{0.1t}}+150{{e}^{-0.03t}}$ (vi khuẩn/phút) $\left( a\in \mathbb{R} \right)$. Biết rằng lúc bắt đầu quan sát, quần thể có 200000 vi khuẩn và đạt tốc độ tăng trường là 350 vi khuẩn/phút.

Lời giải
a) Giá trị của $a=200$.
b) $P\left( t \right)=2000{{e}^{0.1t}}-5000{{e}^{-0.03t}}+200000$.
c) Sau 12 phút số lượng vi khuẩn trong quần thề là 206152 con (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
d) Sau 12 phút, một quần thể vi khuẩn B có tốc độ tăng trưởng là ${G}’\left( t \right)=500{{e}^{0.2t}}$ (vi khuẩn/phút) bắt đầu cạnh tranh nguồn thức ăn trực tiếp với quần thể A . Một cá thể tại quần thể B triệt tiêu một cá thể tại quần thể A . Sau 5 phút cạnh tranh quần thể A bị triệt tiêu hoàn toàn. Số lượng vi khuần của quần thể B ở thời điềm bắt đầu cạnh tranh là 191967 con. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lời giải
a) Đúng: ${P}’\left( 0 \right)=a+150=350\Leftrightarrow a=200$
b) Sai: $P\left( t \right)=\int {P}’\left( t \right)\text{d}t=2000{{e}^{0,1t}}-5000{{e}^{-0,03t}}+C$ mà $P\left( 0 \right)=200000$ nên $C=203000$
$\text{ }\!\!~\!\!\text{ V}\text{y }\!\!~\!\!\text{ h }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ m }\!\!~\!\!\text{ s}\text{ }\!\!~\!\!\text{ c}\text{n }\!\!~\!\!\text{ t }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ m }\!\!~\!\!\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }P\left( t \right)=2000{{e}^{0.1t}}-5000{{e}^{-0.03t}}+203000$
c) Đúng: $P\left( 12 \right)=2000{{e}^{0,1.12}}-5000{{e}^{-0,03.12}}+203000=206152$
d) Sai: Sau 5 phút cạnh tranh thì quần thể A bị triệt tiêu hoàn toàn mà quần thể A mà quần thể A quan sát trước quần thể B 12 phút nên số lượng quần thể A ở phút thứ 17 bằng số lượng quần thể B ở phút thứ 5 , tức là $P\left( 17 \right)=G\left( 5 \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{*} \right)$
Khi đó: $P\left( 17 \right)=2000{{e}^{0,1.17}}-5000{{e}^{-0.0,3.17}}+203000=210945$
Mặt khác: $G\left( t \right)=\int ~{G}’\left( t \right)\text{d}t=2500{{e}^{0,2t}}+C\Rightarrow G\left( 5 \right)=2500e+C$
Từ phương trình $\left( \text{*} \right)$ ta có: $P\left( 17 \right)=G\left( 5 \right)\Leftrightarrow 210945=2500e+K\Rightarrow K=204149$
Vậy hàm $G\left( t \right)=2500{{e}^{0,2t}}+204149\Rightarrow G\left( 0 \right)=206649$.