Một cái bể nước có dạng khối chóp tứ giác đều ngược với cạnh đáy bằng $3\sqrt {2} dm$ và chiều cao bằng $6dm$ (tham khảo hình vẽ bên – các kích thước được nêu ra là phần bên trong hình). Nước được bơm vào bể với tốc độ không đổi là 2 lít/phút và ban đầu bể không chứa nước (các kết quả bên dưới được làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy).

ĐỀ BÀI
Một cái bể nước có dạng khối chóp tứ giác đều ngược với cạnh đáy bằng $3\sqrt {2} dm$ và chiều cao bằng $6dm$ (tham khảo hình vẽ bên – các kích thước được nêu ra là phần bên trong hình). Nước được bơm vào bể với tốc độ không đổi là 2 lít/phút và ban đầu bể không chứa nước (các kết quả bên dưới được làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy).

Lời giải
a) Bể nước được bơm đầy sau 18 phút.
b) Tốc độ dâng lên của nước là khi thể tích nước trong bể bằng $\dfrac{1}{3}$ thể tích của bể.
c) Khi mực nước cách miệng bể $0,5dm$, người ta ngừng bơm và bắt đầu xả ra với ước lượng tốc độ giảm chiều cao của mực nước trong bể theo thời gian $t$ (phút) được mô hình hóa bởi hàm số: $h’\left(t\right)=\dfrac{1}{350}t-\dfrac{193}{700}(\mathrm{\,dm}/$ phút $)$. Sau 5 phút, thể tích nước trong bể là $11,97\mathrm{\,d}\mathrm{\,m}^{3}$.
d) Cùng với dữ kiện của c) thì sau 23,59 phút nước trong bể vừa được xả hết.
Lời giải:
a) Mệnh đề đúng.
Thể tích chậu nước hình chóp tứ giác đều là $V_{\mathrm{\,cha\”a u\;}}=\dfrac{1}{3}\cdot (3\sqrt {2} )^{2}\cdot 6=36\mathrm{\,d}\mathrm{\,m}^{3}=36$ lít.
Thời gian bơm nước đầy bể là $\dfrac{36}{2}=18$ phút.
b) Mệnh đề đúng.
Gọi $V\left(t\right),h\left(t\right)$ lần lượt là thể tích và chiều cao của nước sau $t$ phút.
Ta có $\dfrac{V\left(t\right)}{V_{\mathrm{\,cha\”a u\;}}}=\left(\dfrac{h\left(t\right)}{6}\right)^{3}\Rightarrow V\left(t\right)=\left(\dfrac{h\left(t\right)}{6}\right)^{3}\cdot 36$ hay $V\left(t\right)=\dfrac{(h\left(t\right))^{3}}{6}$
Đạo hàm hai vế của (*) theo biến $t$ ta được: $\dfrac{\mathrm{\,d}V\left(t\right)}{\mathrm{\,d}t}=\dfrac{(h\left(t\right))^{2}}{2}\cdot \dfrac{\mathrm{\,\;d}h\left(t\right)}{\mathrm{\,d}t}$ (**).
Thời điểm thể tích nước bằng $\dfrac{1}{3}$ thể tích chậu thì: $\left(\dfrac{h\left(t\right)}{6}\right)^{3}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{h\left(t\right)}{6}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}\Rightarrow h\left(t\right)=6\cdot \sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}\approx 4,16\mathrm{\,dm}$
Thay $\dfrac{dV\left(t\right)}{dt}=2$ lít/phút $=2\mathrm{\,dm}/$ phút; $h\left(t\right)\approx 4,16\mathrm{\,dm}$ vào $\left(\mathrm{\,**}\right)$, thì: $\dfrac{dh\left(t\right)}{dt}\approx 0,23\mathrm{\,dm}/$ phút .
c) Mệnh đề đúng.
Mực nước cách miệng bể $0,5\mathrm{\,dm}$ nên chiều cao ban đầu bằng $5,5\mathrm{\,dm}$.
Chiều cao của nước trong chậu sau 5 phút là .
Thể tích nước còn lại trong bể là $V\left(5\right)=\left(\dfrac{h\left(5\right)}{6}\right)^{3}\cdot 36\approx 11,97\mathrm{\,d}\mathrm{\,m}^{3}$.
d) Mệnh đề sai.
Thời gian để mực nước trong chậu đang là $5,5dm$ trở về $0dm$ thỏa mãn phương trình phút.
Với khoảng thời gian 22,59 phút thì nước trong bể vừa được xả hết.