Giả sử rằng khi được $t$ năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R’\left(t\right)=650-4t^{2}$ (triệu đồng/năm), thời điểm $t=0$ tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C’\left(t\right)=48+13t^{2}$ (triệu đồng / năm), ở đây $C\left(t\right)$ là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được $t$ năm tuổi.

ĐỀ BÀI
Giả sử rằng khi được $t$ năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R’\left(t\right)=650-4t^{2}$ (triệu đồng/năm), thời điểm $t=0$ tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C’\left(t\right)=48+13t^{2}$ (triệu đồng / năm), ở đây $C\left(t\right)$ là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được $t$ năm tuổi.

Lời giải
Doanh thu sau 10 năm của máy A là $\mathop{\int }_{0}^{10}\left( 650-4{{t}^{2}} \right)dt$ (triệu đồng).
b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1224 (triệu đồng).
c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm $T$ trước khi lợi nhuận (bằng doanh thu trừ chi phí) mà nó tạo ra bắt đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 7 năm.
d) Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2440 (triệu đồng).

Lời giải
Nhận xét rằng trên đoạn $\left[ 0;10 \right]$ hàm ${R}’\left( t \right)>0$, do đó doanh thu sau 10 năm của máy công nghiệp A là $\mathop{\int }_{0}^{10}\left| 650-4{{t}^{2}} \right|dt=\mathop{\int }_{0}^{10}\left( 650-4{{t}^{2}} \right)dt$. Do đó ý a) Đúng.
Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy trong 6 năm là 1224 (triệu đồng). Do đó ý b) Đúng.
Lợi nhuận biên của máy A là ${P}’\left( t \right)={R}’\left( t \right)-{C}’\left( t \right)=602-17{{t}^{2}}$ (triệu đồng/năm).
Lợi nhuận bắt đầu giảm, có nghĩa là lợi nhuận biên âm, hay ${P}’\left( t \right)<0\Leftrightarrow 602-17{{t}^{2}}\left\langle 0\Rightarrow t \right\rangle 6$
Vậy tuổi thọ hữu ích của máy A là 6 năm. Do đó ý c) Sai.
Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là (triệu đồng). Do đó ý d) Sai.