Một con sư tử đang đuổi theo một con ngựa vằn và chúng cùng chạy trên một đường thẳng. Ngựa vằn đã nhận ra sư tử khi sư tử cách nó khoảng 40 m . Từ thời điểm này, sư tử đuổi theo ngựa vằn với tốc độ $v_{1}\left(t\right)=15e^{-0,1t}\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$ và ngựa vằn bỏ chạy với tốc độ $v_{2}\left(t\right)=20-20e^{-0,1t}\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}(t$ được tính bằng giây với $0\leq t\leq 60$. ).

ĐỀ BÀI
Một con sư tử đang đuổi theo một con ngựa vằn và chúng cùng chạy trên một đường thẳng. Ngựa vằn đã nhận ra sư tử khi sư tử cách nó khoảng 40 m . Từ thời điểm này, sư tử đuổi theo ngựa vằn với tốc độ $v_{1}\left(t\right)=15e^{-0,1t}\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$ và ngựa vằn bỏ chạy với tốc độ $v_{2}\left(t\right)=20-20e^{-0,1t}\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}(t$ được tính bằng giây với $0\leq t\leq 60$. ).

Lời giải
a) Tại thời điểm ban đầu $t=0$ giây, vận tốc của con ngựa vằn là $20\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$.
b) Tốc độ của sư tử giảm dần theo thời gian, trong khi tốc độ của ngựa vằn tăng dần theo thời gian.
c) Sư tử ở gần ngựa vằn nhất khi $v_{1}^{‘}\left(t\right)=v_{2}^{‘}\left(t\right)$ và khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là 1,72 mét (làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị mét).
d) Sư tử sẽ không bắt được ngựa vằn và khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là 1,92 mét (làm tròn đến hàng phần trăm theo đơn vị mét).
Lời giải:
a) Mệnh đề sai.
Vận tốc ban đầu của con ngựa vằn là $v_{2}\left(0\right)=20-20e^{0}=0\mathrm{\,\;m}/\mathrm{\,s}$.
b) Mệnh đề đúng.
Ta có: $v_{1}^{‘}\left(t\right)=-0,1\cdot 15e^{-0,1t}<0,\forall t\in \left[0;60\right]$. Suy ra tốc độ sư tử giảm dần theo thời gian.
Ta có: $v_{2}^{‘}\left(t\right)=-0,1\cdot \left(-20\right)e^{-0,1t}=2e^{-0,1t}>0,\forall t\in \left[0;60\right]$. Suy ra tốc độ của ngựa vằn tăng dần theo thời gian.
c) Mệnh đề sai.
Khoảng cách giữa sư tử và ngựa vằn là .
Ta có $d’\left(t\right)=v_{2}\left(t\right)-v_{1}\left(t\right);d’\left(t\right)=0\Rightarrow v_{2}\left(t\right)=v_{1}\left(t\right)$.
Giải phương trình này, ta có: $20-20e^{-0,1t}=15e^{-0,1t}\Leftrightarrow 20=35e^{-0,1t}$ $\Leftrightarrow \dfrac{20}{35}=e^{-0,1t}\Leftrightarrow \mathrm{\,ln}\dfrac{20}{35}=-0,1t\Leftrightarrow t=\dfrac{\mathrm{\,ln}\dfrac{20}{35}}{-0,1}\approx 5,6$ (s).

Vậy sư tử ở gần ngựa vằn nhất khi $v_{1}\left(t\right)=v_{2}\left(t\right)$, và khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là 1,92 mét.
d) Mệnh đề đúng.
Từ bảng biến thiên, ta thấy khoảng cách ngắn nhất giữa hai con vật là 1,92 mét; kể từ thời điềm gần nhất đó, sư tử dần bị bỏ lại phía sau và sư tử không thể bắt được ngựa vằn.