Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập, mô hình $y=x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz $y=f\left( x \right)$, biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với $0\le x\le 100$, biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số: $y={{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}},0\le x\le 100$ Trong đó $x$ được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, ${{8}^{\text{th }\!\!~\!\!\text{ }}}$ edition, Cengage Learning,

ĐỀ BÀI
Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập, mô hình $y=x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz $y=f\left( x \right)$, biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với $0\le x\le 100$, biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số:
$y={{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}},0\le x\le 100$
Trong đó $x$ được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất
Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, ${{8}^{\text{th }\!\!~\!\!\text{ }}}$ edition, Cengage Learning,

Lời giải
a) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của $60\backslash \text{ }\!\! b) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành 10 nhóm bằng nhau từ 1 đến 10 , tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm 3 chiếm khoảng $8,56\backslash \text{ }\!\! c) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì năm 2005 được xác định bởi công thức:
$\mathop{\int }_{0}^{100}\left[ x-{{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}} \right]\text{d}x$
d) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 đã vượt quá 2000 .
Lời giải
a) Đúng: Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập của $60\backslash \text{ }\!\! b) Sai: Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo đến giàu, rồi chia thành 10 nhóm bằng nhau, mỗi nhóm chiếm $10\backslash \text{ }\!\! Tổng thu nhập của $30\backslash \text{ }\!\! Tổng thu nhập của $20\backslash \text{ }\!\! Tỷ lệ của tổng thu nhập các gia đình nhóm thứ 3 so với toàn bộ các gia đình là:
$f\left( 30 \right)-f\left( 20 \right)=2,787067\left( \backslash \text{ }\!\! c) Sai: Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì vào năm 2005 là diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi hai đồ thị:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=x \\
y={{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218+1,723 \right)}^{2}} \\
x=0;x=100 \\
\end{array}\Rightarrow S=\mathop{\int }_{0}^{100}\left| {{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}}-x \right|\text{d}x. \right.$
Sử dụng máy tính cầm tay ta được: $S=\mathop{\int }_{0}^{100}\left| {{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}}-x \right|\text{d}x\approx 2068,9$.
Kiểm tra phép tính của đề bài, ta có: $\mathop{\int }_{0}^{100}\left[ x-{{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}} \right]\text{d}x=2059,3131$.
d) Đúng: Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 là:
$S=\mathop{\int }_{0}^{100}\left| {{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}}-x \right|\text{d}x\approx 2068,9$