ĐỀ BÀI
Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập, mô hình $y=x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz $y=f\left( x \right)$, biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với $0\le x\le 100$, biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số:
$y={{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}},0\le x\le 100$
Trong đó $x$ được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất
Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, ${{8}^{\text{th }\!\!~\!\!\text{ }}}$ edition, Cengage Learning,
Lời giải
a) Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập thực tế của $60\backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến $30\backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.
b) Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo nhất đến giàu nhất, rồi chia thành 10 nhóm bằng nhau từ 1 đến 10 , tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm 3 chiếm khoảng $8,56\backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình.
c) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì năm 2005 được xác định bởi công thức:
$\mathop{\int }_{0}^{100}\left[ x-{{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}} \right]\text{d}x$
d) Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 đã vượt quá 2000 .
Lời giải
a) Đúng: Tính theo thứ tự từ các gia đình nghèo nhất đến giàu nhất, tổng thu nhập của $60\backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ các gia đình của đầu tiên chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập là: $f\left( 60 \right)=27,321529\left( \backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ } \right)$.
b) Sai: Nếu sắp xếp các gia đình theo thứ tự từ nghèo đến giàu, rồi chia thành 10 nhóm bằng nhau, mỗi nhóm chiếm $10\backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ số gia đình của Hoa Kỳ.
Tổng thu nhập của $30\backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm $1,2,3$ ) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: $f\left( 30 \right)=8,561476\left( \backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ } \right)$.
Tổng thu nhập của $20\backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ số gia đình (là các gia đình thuộc nhóm 1,2 ) chiếm tỷ lệ trong tổng thu nhập của tất cả các gia đình là: $f\left( 20 \right)=5,774409\left( \backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ } \right)$.
Tỷ lệ của tổng thu nhập các gia đình nhóm thứ 3 so với toàn bộ các gia đình là:
$f\left( 30 \right)-f\left( 20 \right)=2,787067\left( \backslash \text{ }\!\!%\!\!\text{ } \right).$
c) Sai: Sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kì vào năm 2005 là diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi hai đồ thị:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=x \\
y={{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218+1,723 \right)}^{2}} \\
x=0;x=100 \\
\end{array}\Rightarrow S=\mathop{\int }_{0}^{100}\left| {{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}}-x \right|\text{d}x. \right.$
Sử dụng máy tính cầm tay ta được: $S=\mathop{\int }_{0}^{100}\left| {{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}}-x \right|\text{d}x\approx 2068,9$.
Kiểm tra phép tính của đề bài, ta có: $\mathop{\int }_{0}^{100}\left[ x-{{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}} \right]\text{d}x=2059,3131$.
d) Đúng: Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 là:
$S=\mathop{\int }_{0}^{100}\left| {{\left( 0,00061{{x}^{2}}+0,0218x+1,723 \right)}^{2}}-x \right|\text{d}x\approx 2068,9$
Để lại phản hồi