Tích phân

Tính tích phân \(\int\limits_0^1 {\max \left\{ {{e^x},{e^{1 - 2x}}} \right\}} dx\). A. \(e - 1\). B. \(\frac{3}{2}\left( {e - \sqrt[3]{e}} \right)\). C. \(e - \sqrt[3]{e}\). D. \(\frac{1}{2}\left( {e - \frac{1}{e}} \right)\). Lời giải: Ta có: \({e^x} \ge {e^{1 - 2x}} \Leftrightarrow x \ge 1 - 2x \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}\). Suy ra: \(\max \left\{ … [Đọc thêm...] vềTính tích phân \(\int\limits_0^1 {\max \left\{ {{e^x},{e^{1 – 2x}}} \right\}} dx\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 2{\rm{ khi }}x \le 1\\2x - 1{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 - \sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x} \). A. \( - 1\). B. \( - 2\). C. \(2\). D. \(1\). Lời giải: Xét thấy \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – 2{\rm{ khi }}x \le 1\\2x – 1{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 – \sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x} \).

Biết \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{3 + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,} {\rm{d}}x\)\( = a\left( {1 + \ln 3} \right) - b\ln 2\), \(\left( {a\,,\,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\) là: A. \(T = \frac{{25}}{{16}}.\) B. \(T = \frac{9}{{16}}.\) C. \(T = \frac{{16}}{{25}}.\) D. \(T = \frac{{16}}{9}.\) Lời … [Đọc thêm...] vềBiết \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{3 + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,} {\rm{d}}x\)\( = a\left( {1 + \ln 3} \right) – b\ln 2\), \(\left( {a\,,\,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Giá trị của biểu thức

Giả sử tích phân \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \cos x}}{{1 + {3^x}}}dx} = a{\pi ^3} + b\pi + c\), trong đó \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính \(S = 8a + 4b + c\) A.\(S = \frac{5}{3}\). B. \(S = \frac{4}{3}\). C. \(S = \frac{8}{3}\). D. \(S = \frac{2}{3}\). Lời giải: Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\) Đổi cận: Với … [Đọc thêm...] vềGiả sử tích phân \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \cos x}}{{1 + {3^x}}}dx} = a{\pi ^3} + b\pi + c\), trong đó \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính \(S = 8a + 4b + c\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{2x + 1}}{{2x}}\ln \left( {x + 1} \right)\). Biết \(\int\limits_1^{17} {f\left( x \right){\rm{d}}x = a\ln 5 - 2\ln b + c} \) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\). Tính \(T = a - … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 1} \right) + \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x }} = \frac{{2x + 1}}{{2x}}\ln \left( {x + 1} \right)\). Biết \(\int\limits_1^{17} {f\left( x \right){\rm{d}}x = a\ln 5 – 2\ln b + c} \) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\). Tính \(T = a – 3b + 2c\).

Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \(Ox\). A. \(V = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}.\) B. \(V = \frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}.\) C. \(V = \frac{\pi }{6}{a^3}.\) D. \(V = \frac{\pi }{8}{a^3}.\) Lời … [Đọc thêm...] vềBên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).

Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} - 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào? A. \(\left( {1;2} \right)\). B. … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} – 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào?