Giả sử tích phân \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \cos x}}{{1 + {3^x}}}dx} = a{\pi ^3} + b\pi + c\), trong đó \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính \(S = 8a + 4b + c\)

Giả sử tích phân \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \cos x}}{{1 + {3^x}}}dx} = a{\pi ^3} + b\pi + c\), trong đó \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính \(S = 8a + 4b + c\)

A.\(S = \frac{5}{3}\).

B. \(S = \frac{4}{3}\).

C. \(S = \frac{8}{3}\).

D. \(S = \frac{2}{3}\).

Lời giải:

Đặt \(t = – x \Rightarrow dt = – dx\)

Đổi cận:

Với \(x = – \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\)

Với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = – \frac{\pi }{2}\)

Khi đó: \(I = – \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\left( { – t} \right)}^2} + \cos \left( { – t} \right)}}{{1 + {3^{ – t}}}}dt} = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{t^2} + \cos t}}{{\frac{{{3^t} + 1}}{{{3^t}}}}}dt = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{t^2} + \cos t}}{{1 + {3^t}}}{{.3}^t}dt = } } \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \cos x}}{{1 + {3^x}}}{{.3}^x}dx} \)

\( \Rightarrow I + I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \cos x}}{{1 + {3^x}}}dx} + \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \cos x}}{{1 + {3^x}}}{{.3}^x}dx} \)\( = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \cos x}}{{1 + {3^x}}}.\left( {1 + {3^x}} \right)dx} = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{x^2} + \cos x} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \sin x} \right)} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^3}}}{{12}} + 2\)

\( \Rightarrow 2I = \frac{{{\pi ^3}}}{{12}} + 2 \Rightarrow I = \frac{{{\pi ^3}}}{{24}} + 1 = a{\pi ^3} + b\pi + c\)

\( \Rightarrow a = \frac{1}{{24}};b = 0;c = 1\). Vậy \(S = 8a + 4b + c = \frac{4}{3}\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.