Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right) = x + 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Tích phân \(\int\limits_{2023}^{2025} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) thỏa mãn \(f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right) = x + 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Tích phân \(\int\limits_{2023}^{2025} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. \(4050\).

B. \(\frac{{24283}}{{12}}\).

C. \(\frac{{41}}{{12}}\).

D. \(\frac{3}{2}\).

Lời giải:

Khi \(x \ge 0\), ta có: \(f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right) = x + 1\)\( \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 2x} \right)f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right) = \left( {3{x^2} + 2x} \right)\left( {x + 1} \right){\rm{ }}\left( * \right)\)

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế của \(\left( * \right)\) ta được:

\(\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 2x} \right)f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 2x} \right)\left( {x + 1} \right){\rm{ }}} {\rm{d}}x\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right){\rm{d}}\left( {{x^3} + {x^2} + 2023} \right)} = \frac{{41}}{{12}}\)

Đặt \(t = {x^3} + {x^2} + 2023\)\( \Rightarrow \int\limits_{2023}^{2025} {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{{41}}{{12}}\)\( \Rightarrow \int\limits_{2023}^{2025} {f\left( x \right){\rm{dx}}} = \frac{{41}}{{12}}\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.