Biết \(\int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{{2 + x}}{{2 – x}}} dx} = \frac{\pi }{a} + b\sqrt 3 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + b +

C.\)

Biết \(\int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{{2 + x}}{{2 – x}}} dx} = \frac{\pi }{a} + b\sqrt 3 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + b +

C.\)

A. \(P = – 3\).

B. \(P = – 2\).

C. \(P = 2\).

D. \(P = 1\).

Lời giải

Đặt \(x = 2\cos 2t\) với \(t \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\). Suy ra \({\rm{d}}x = – 4\sin 2t{\rm{d}}t.\)

Khi \(x = 0\) thì \(t = \frac{\pi }{4}\), khi \(x = 1\) thì \(t = \frac{\pi }{6}\).

Ta có

\(\int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{{2 + x}}{{2 – x}}} dx} = – 4\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{6}} {\sqrt {\frac{{2 + 2\cos 2t}}{{2 – 2\cos 2t}}} \sin 2t{\rm{d}}t} = 4\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {\frac{{4{{\cos }^2}t}}{{4{{\sin }^2}t}}} \sin 2t{\rm{d}}t} = 8\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos t}}{{\sin t}}\sin t\cos t{\rm{d}}t} = 8\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} \)

\( = 4\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} = 4\left. {\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = 4\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}} \right) – 4\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) = \frac{\pi }{3} – \sqrt 3 + 2\).

Suy ra \(a = 1,{\rm{ }}b = – 1,{\rm{ }}c = 2\). Vậy \(P = 2.\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.