Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng

Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng

A. \(20\).

B. \(241\).

C. \(48\).

D. \(196\).

Lời giải:

Ta có: \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\left( { – 4 + \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} \right){\rm{d}}x} = – 4\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {{\rm{d}}x} + \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = I + J\).

Ta có: \(I = – 4\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {{\rm{d}}x} = \left. { – 4x} \right|_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} = – 2\sqrt 6 – 2\sqrt 2 + 4\) .

Và \(J = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x – \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2}}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = x – \frac{1}{x} \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\) .

Khi đó \(J = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{{t^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{\rm{d}}t} \). Đặt \(t = \sqrt 2 \tan u \Rightarrow {\rm{dt}} = \sqrt 2 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right){\rm{du}}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = \sqrt 2 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\). Suy ra \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 2 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}}{{2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}}{\rm{d}}u} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{d}}u} = \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}u} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\pi \).

Vậy \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( { – 16\sqrt 3 – 16 + \pi } \right) + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = – 16\\c = 1\end{array} \right.\).

Do đó \(a + {b^2} + {c^4} = 241\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.