Biết \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{3 + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,} {\rm{d}}x\)\( = a\left( {1 + \ln 3} \right) – b\ln 2\), \(\left( {a\,,\,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Giá trị của biểu thức

\(T = {a^2} + {b^2}\) là:

Biết \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{3 + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\,} {\rm{d}}x\)\( = a\left( {1 + \ln 3} \right) – b\ln 2\), \(\left( {a\,,\,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Giá trị của biểu thức

A. \(T = \frac{{25}}{{16}}.\)

B. \(T = \frac{9}{{16}}.\)

C. \(T = \frac{{16}}{{25}}.\)

D. \(T = \frac{{16}}{9}.\)

Lời giải:

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3 + \ln x\\{\rm{d}}v = \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\v = – \frac{1}{{x + 1}}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(I = \left. { – \frac{{3 + \ln x}}{{x + 1}}} \right|_1^3 + \int\limits_1^3 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\,} {\rm{d}}x\)\( = – \frac{{3 + \ln 3}}{4} + \frac{3}{2} + \int\limits_1^3 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)\,} {\rm{d}}x\)

\( = \frac{{3 – \ln 3}}{4} + \left. {\left( {\ln \left| x \right| – \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3\)

\( = \frac{{3 – \ln 3}}{4} + \ln 3 – \ln 4 + \ln 2\)\( = \frac{3}{4}\left( {1 + \ln 3} \right) – \ln 2\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \frac{{25}}{{16}}\).

Vậy \(T = \frac{{25}}{{16}}.\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.