Biết tích phân \({\rm{I}} = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln {{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^x} + 2023x}}{{\ln \left[ {{{\left( {2e{x^2} + e} \right)}^{2{x^2} + 1}}} \right]}}} {\rm{dx = }}\,\,a{\rm{.ln3 + }}\,b{\rm{.ln}}\left( {\frac{{\ln 9e}}{{\ln 3e}}} \right)\) . Với \(a,\,b\, \in \mathbb{Q}\) và \(a,\,b\) là các phân số tối giản. Tính \(P = 8a + 4b\)

A. \(P = 1012\) .

B. \(P = 2023\).

C. \(P = 2024\).

D. \(P = 1011\).

Lời giải:

Ta có \(I = \int\limits_1^2 {\frac{x}{{2{x^2} + 1}} \cdot \frac{{\ln \left( {2{x^2} + 1} \right) + 2023}}{{\ln \left( {2{x^2} + 1} \right) + 1}}{\rm{dx}}} = \frac{1}{4}\int\limits_1^2 {\frac{{4x}}{{2{x^2} + 1}} \cdot \frac{{\ln \left( {2{x^2} + 1} \right) + 2023}}{{\ln \left( {2{x^2} + 1} \right) + 1}}{\rm{dx}}} \)

Đặt \({\rm{t}} = \ln \left( {2{x^2} + 1} \right) \Rightarrow {\rm{dt}} = \frac{{4x}}{{2{x^2} + 1}}{\rm{dx}}\) .

Đổi cận

\(I = \frac{1}{4}\int\limits_{\ln 3}^{\ln 9} {\frac{{{\rm{t}} + 2023}}{{{\rm{t}} + 1}}} {\rm{dt}}\,\,{\rm{ = }}\frac{1}{4}\int\limits_{\ln 3}^{\ln 9} {\left( {1 + \frac{{2022}}{{{\rm{t}} + 1}}} \right)} {\rm{dt}}\,\,{\rm{ = }}\frac{1}{4}\left( {{\rm{t}} + 2022\ln |{\rm{t}} + 1|} \right)\left| {_{\ln 3}^{\ln 9}} \right.\)

\(I = \frac{1}{4}\left( {\ln 9 – \ln 3} \right) + \frac{{1011}}{2}\left( {\ln \left( {\ln 9 + 1} \right) – \ln \left( {\ln 3 + 1} \right)} \right)\)

\(I = \frac{1}{4}\ln 3 + \frac{{1011}}{2}\left( {\ln \left( {\ln (9e)} \right) – \ln \left( {\ln (3e)} \right)} \right)\,\, = \frac{1}{4}\ln 3 + \frac{{1011}}{2}\ln \left( {\frac{{\ln 9e}}{{\ln 3e}}} \right)\)

Suy ra \(a = \frac{1}{4};\,\,b = \frac{{1011}}{2}\, \Rightarrow P = 8a + 4b = 2024.\) Chọn đáp án

C.