Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).

Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).

Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \(Ox\).

A. \(V = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}.\)

B. \(V = \frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}.\)

C. \(V = \frac{\pi }{6}{a^3}.\)

D. \(V = \frac{\pi }{8}{a^3}.\)

Lời giải:

Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay cần tính.

Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được tô màu trong hình bên quanh trục hoành.

Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {{{\left( {\frac{x}{2} + \frac{a}{4}} \right)}^2}{\rm{d}}x} – \pi \int\limits_{\frac{a}{4}}^{\frac{a}{2}} {{{\left( {2x – \frac{a}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{5\pi {a^3}}}{{96}}.\)

Suy ra thể tích cần tính \(V = 2{V_1} = \frac{{5\pi {a^3}}}{{48}}.\)

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.