Biết \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)} {\rm{d}}x = a\ln 5 + b\ln 3 + c\) trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên .

Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\).

Biết \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)} {\rm{d}}x = a\ln 5 + b\ln 3 + c\) trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên .

A. \(T = 9\).

B. \(T = 11\).

C. \(T = 8\).

D. \(T = 10\).

Lời giải:

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \ln \left( {{x^2} + 9} \right)}\\{{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x}\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{d}}u = \frac{{2x}}{{{x^2} + 9}}{\rm{d}}x}\\{v = \frac{{{x^2} + 9}}{2}}\end{array}} \right.\).

Do đó

\(I = \left. {\frac{{{x^2} + 9}}{2}\ln \left( {{x^2} + 9} \right)} \right|_0^4 – \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2} + 9}}{2}.\frac{{2x}}{{{x^2} + 9}}{\rm{d}}x} \)\( = \left. {\frac{{{x^2} + 9}}{2}\ln \left( {{x^2} + 9} \right)} \right|_0^4 – \int\limits_0^4 {x{\rm{d}}x} \)

\( = \left. {\frac{{{x^2} + 9}}{2}\ln \left( {{x^2} + 9} \right)} \right|_0^4 – \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4\)\( = \frac{{25}}{2}\ln 25 – \frac{9}{2}\ln 9 – 8\)\( = 25\ln 5 – 9\ln 3 – 8\)\( = a\ln 5 + b\ln 3 + c\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 25}\\{b = – 9}\\{c = – 8}\end{array}} \right. \Rightarrow a + b + c = 8\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.