Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – 2{\rm{ khi }}x \le 1\\2x – 1{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 – \sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x} \).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – 2{\rm{ khi }}x \le 1\\2x – 1{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 – \sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x} \).

A. \( – 1\).

B. \( – 2\).

C. \(2\).

D. \(1\).

Lời giải:

Xét thấy \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(I\) luôn tồn tại.

Đặt \(t = 1 – \sin x\)

\( \Rightarrow {\rm{d}}t = – \cos x{\rm{d}}x\)\( \Leftrightarrow – {\rm{d}}t = \cos x{\rm{d}}x\)

Đổi cận: với \(x = – \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 2\)

với \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\)

Khi đó:

\(I = – \int\limits_2^0 {f\left( t \right){\rm{d}}t = \int\limits_0^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = } \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} – 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} – 2x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} – x} \right)} \right|_1^2 = – 1 + 2 = 1\)

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.