Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng

Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng

A. \(15\).

B. \(20\).

C. \(25\).

D. \(5\).

Lời giải:

Vì với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\) hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương nên với\(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f’\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{3{x^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} + \frac{1}{{{x^2}}} = 2{x^3}\frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^3}\left( x \right)}} \Leftrightarrow \frac{{3{x^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} – 2{x^3}\frac{{f’\left( x \right)}}{{{f^3}\left( x \right)}} = – \frac{1}{{{x^2}}}\)\( \Leftrightarrow {\left[ {{x^3}.\frac{1}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right]^\prime } = – \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow {x^3}.\frac{1}{{{f^2}\left( x \right)}} = \int {\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\rm{dx = }}\frac{1}{x} + C} \).

\(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \frac{1}{{{f^2}\left( 1 \right)}} = 1 + C \Rightarrow C = 0 \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^4} \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2}\).

\( \Rightarrow f\left( 5 \right) = 25\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.