Biết\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} = a\frac{\pi }{4} + b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng

Biết\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} = a\frac{\pi }{4} + b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\) bằng

A. \(1\).

B. \(4\).

C. \(5\).

D. \(10\).

Lời giải:

Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(x = \frac{\pi }{2} – t \Rightarrow {\rm{d}}x = – {\rm{d}}t\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\\x = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

Suy ra

\(I = – \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\frac{{{{\sin }^{2023}}\left( {\frac{\pi }{2} – t} \right)}}{{{{\sin }^{2023}}\left( {\frac{\pi }{2} – t} \right) + {{\cos }^{2023}}\left( {\frac{\pi }{2} – t} \right)}}{\rm{d}}t} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2023}}t}}{{{{\sin }^{2023}}t + {{\cos }^{2023}}t}}{\rm{d}}t} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} = J\).

Từ đó \(I + J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{{{{\sin }^{2023}}x + {{\cos }^{2023}}x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{d}}x} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow I = J = \frac{\pi }{4}\).

Suy ra \(a = 1,b = 0 \Rightarrow T = 1\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.