Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {0;30} \right]\) để phương trình \({6^x} + 2mx = m{2^x} + 2x{.3^x}\) có đúng 3 nghiệm nguyên dương.

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}{6^x} + 2mx = m{2^x} + 2x{.3^x} \Leftrightarrow {2^x}{.3^x} – 2x{.3^x} = m{.2^x} – 2xm \Leftrightarrow {3^x}\left( {{2^x} – 2x} \right) – m\left( {{2^x} – 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{3^x} – m} \right)\left( {{2^x} – 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} – 2x = 0\\{3^x} = m\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {2^x} – 2x\) có \(g’\left( x \right) = {2^x}\ln 2 – 2 \Rightarrow g”\left( x \right) = {2^x}{\left( {\ln 2} \right)^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Do đó phương trình \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {2^x} = \frac{2}{{\ln 2}} \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {\frac{2}{{\ln 2}}} \right) \approx 1,53\). Gọi nghiệm đó là \({x_0}.\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau

Do \(g\left( {{x_0}} \right) < 0\) do đó \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm. Mà \(g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right) = 0\) nên \(x = 1,x = 2\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x} – 2x = 0.\)

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm nguyên dương thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có một nghiệm nguyên dương khác \(1,2\).

Với \(x = 3 \Rightarrow m = 27\)

Với \(x = 4 \Rightarrow m = 81\).

Vậy có một giá trị nguyên của \(m \in \left[ {0;30} \right]\) thoả mãn điều kiện bài toán.