. Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thoả mãn điều kiện đề bài \(0 \le x \le 2023\) và

\(3.({9^y} + 2y) = x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} – 2\).

. Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thoả mãn điều kiện đề bài \(0 \le x \le 2023\) và

\(3.({9^y} + 2y) = x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} – 2\).

A. \(2\).

B. \(3\).

C. \(4\).

D. \(5\).

Lời giải:

Ta có \(3.({9^y} + 2y) = x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} – 2 \Leftrightarrow {3.9^y} + 6y = x + 3{\log _3}(x + 1) – 2\)

\( \Leftrightarrow {3^{2y + 1}} + 3(2y + 1) = (x + 1) + 3{\log _3}(x + 1){\rm{ (*)}}\)

Xét hàm số \(f(t) = {3^t} + 3t \Rightarrow f'(t) = {3^t}.\ln 3 + 3 > 0,\forall t\). Suy ra hàm số \(f(t)\) liên tục và đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó \((*) \Leftrightarrow f(2y + 1) = f({\log _3}(x + 1)) \Leftrightarrow 2y + 1 = {\log _3}(x + 1) \Leftrightarrow x = {3^{2y + 1}} – 1\).

Vì \(0 \le x \le 2023\) nên \(0 \le {3^{2y + 1}} – 1 \le 2023 \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \le y \le \frac{{{{\log }_3}2024 – 1}}{2}\)

Do y nguyên nên \(y \in \left\{ {0;1;2} \right\}\)

\( \Rightarrow (x;y) \in \left\{ {\left( {2;0} \right);\left( {26;1} \right);\left( {242;2} \right)} \right\}\). Vậy có 3 cặp số nguyên \((x;y)\) thoả mãn đề bài.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.