Tìm tham số \(m\) để phương trình \({\log _{\sqrt {2023} }}\left( {x – 2} \right) = {\log _{2023}}\left( {mx} \right)\) có nghiệm thực duy nhất.

Tìm tham số \(m\) để phương trình \({\log _{\sqrt {2023} }}\left( {x – 2} \right) = {\log _{2023}}\left( {mx} \right)\) có nghiệm thực duy nhất.

A. \(1 < m < 2\).

B. \(m > 1\).

C. \(m < 2\).

D. \(m > 0\).

Lời giải:

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2 > 0\\mx > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\m > 0\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\({\log _{\sqrt {2023} }}\left( {x – 2} \right) = {\log _{2023}}\left( {mx} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} = mx \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 = mx\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – \left( {4 + m} \right)x + 4 = 0\;\left( * \right)\)

\(\Delta = {\left( {4 + m} \right)^2} – 16 = {m^2} + 8m\).

Yêu cầu bài toán tương đương \(\left( * \right)\) có nghiệm kép lớn hơn \(2\) hoặc có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < 2 < {x_2}\).

Trường hợp 1: \(\left( * \right)\) có nghiệm kép lớn hơn \(2\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 8m = 0\\\frac{{4 + m}}{2} > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\) .

Trường hợp 2: \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < 2 < {x_2}\)

Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) \({m^2} + 8m > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < – 8\\m > 0\end{array} \right.\).

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4 + m\\{x_1}.{x_2} = 4\end{array} \right.\)

Khi đó \({x_1} < 2 < {x_2}\)\( \Leftrightarrow {x_1} – 2 < 0 < {x_2} – 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\)

\( \Leftrightarrow 4 – 2\left( {4 + m} \right) + 4 < 0 \Leftrightarrow m > 0\) .

Vậy \(m > 0\) là giá trị cần tìm.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.