Có bao nhiêu số nguyên dương \(m < 2023\)sao cho tồn tại số nguyên \(x\)thỏa mãn \({2^m}\left( {{2^{x + 3}} – 1} \right) + {m^2} = m\left( {{2^m} + {2^{x + 3}} – 1} \right)\)?

A.\(12\) .

B. \(13\).

C. \(10\).

D. \(8\).

Lời giải:

Ta có \({2^m}\left( {{2^{x + 3}} – 1} \right) + {m^2} = m\left( {{2^m} + {2^{x + 3}} – 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^m}\left( {{2^{x + 3}} – 1} \right) – {2^m}.m + {m^2} – m\left( {{2^{x + 3}} – 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {2^m}\left( {{2^{x + 3}} – 1 – m} \right) – m\left( {{2^{x + 3}} – 1 – m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{2^m} – m} \right)\left( {{2^{x + 3}} – 1 – m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^m} – m = 0\\{2^{x + 3}} – 1 – m = 0\end{array} \right.\).

Trường hợp 1: \({2^m} – m = 0\).

Xét hàm số \(f\left( m \right) = {2^m} – m,m > 0\)

Ta có \({f^’}\left( m \right) = {2^m}\ln 2 – 1,{f^’}\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow m = {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right) = {m_0}\)

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên , ta suy ra \(f\left( m \right) > f\left( {{m_0}} \right) > 0\). Suy ra phương trình \({2^m} – m = 0\)vô nghiệm

Trường hợp 2: \({2^{x + 3}} – 1 – m = 0 \Leftrightarrow m = {2^{x + 3}} – 1\)

Vì \(m\)là số nguyên dương và nhỏ hớn 2023 nên \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{x + 3}} – 1 > 0\\{2^{x + 3}} – 1 < 2023\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\x + 3 < {\log _2}2024\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 3\\x < – 3 + {\log _2}2024\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\( – 3 < x < – 3 + {\log _2}2024\)

Vì \(m \in Z\) nên \(x \in \left\{ { – 2; – 1;0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}\)

Mỗi giá trị của \(x\) có một giá trị của \(m\) tương ứng . Vậy có 10 giá trị của \(m\)thỏa mãn.