Tìm \(m\) để bất phương trình \({3^x} + {4^x} + {5^x} + {6^x} \ge 4 + mx\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

Tìm \(m\) để bất phương trình \({3^x} + {4^x} + {5^x} + {6^x} \ge 4 + mx\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

A. \(m \in \left( {3;4} \right)\).

B. \(m \in \left( {4;5} \right)\).

C. \(m \in \left( {5;6} \right)\).

D. \(m \in \left( {6;7} \right)\).

Lời giải:

+ Với \(a > 1\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} – 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{e^{x\ln a}} – 1}}{{x\ln a}}} \right).\ln a = \ln a\).

+ Với \(a > 1\) xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{a^x} – 1}}{x}\;\left( {x \ne 0} \right)\), ta có \(f’\left( x \right) = \frac{{x{a^x}\ln a – {a^x} + 1}}{{{x^2}}}\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x{a^x}\ln a – {a^x} + 1 \Rightarrow g’\left( x \right) = {a^x}\ln a + x{a^x}{\ln ^2}a – {a^x}\ln a = x{a^x}{\ln ^2}a\).

Với \(x > 0\) ta có \(g’\left( x \right) > 0\) suy ra \(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) > 0 \Rightarrow f’\left( x \right) > 0,\;\forall x > 0\).

Với \(x < 0\) ta có \(g’\left( x \right) < 0\) suy ra \(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) > 0 \Rightarrow f’\left( x \right) > 0,\;\forall x < 0\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{a^x} – 1}}{x}\;\left( {a > 1} \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Trở lại bài toán:

+ Xét \(x = 0\) bất phương trình thỏa mãn.

+ Xét ta có: \({3^x} + {4^x} + {5^x} + {6^x} \ge 4 + mx \Leftrightarrow m \le \frac{{{3^x} – 1}}{x} + \frac{{{4^x} – 1}}{x} + \frac{{{5^x} – 1}}{x} + \frac{{{6^x} – 1}}{x} = h\left( x \right)\).

Từ nhận xét trên ta có \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó yêu cầu của bài toán tương đương với \(m \le \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} h\left( x \right) = \ln 3 + \ln 4 + \ln 5 + \ln 6 = \ln 360\).

+ Xét \(x < 0\) ta có: \({3^x} + {4^x} + {5^x} + {6^x} \ge 4 + mx \Leftrightarrow m \ge \frac{{{3^x} – 1}}{x} + \frac{{{4^x} – 1}}{x} + \frac{{{5^x} – 1}}{x} + \frac{{{6^x} – 1}}{x} = h\left( x \right)\).

Từ nhận xét trên ta có \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { – \infty ;0} \right)\). Do đó yêu cầu của bài toán tương đương với \(m \ge \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} h\left( x \right) = \ln 3 + \ln 4 + \ln 5 + \ln 6 = \ln 360\).

Kết hợp lại ta có \(m = \ln 360 \Rightarrow m \in \left( {5;6} \right)\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.