Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn \(0 < y < 2023\) và

\({3^x} + 3x – 6 = 9y + {\log _3}{y^3}\).

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn \(0 < y < 2023\) và

\({3^x} + 3x – 6 = 9y + {\log _3}{y^3}\).

A. \(2020\).

B.\(9\) .

C. \(7.\)

D. \(8\).

Lời giải:

Ta có: \({3^x} + 3x – 6 = 9y + {\log _3}{y^3} \Leftrightarrow {3^x} + 3\left( {x – 2} \right) = 9y + 3{\log _3}y\)

\( \Leftrightarrow \)\({3^x} + 3\left( {x – 2} \right) = {3^{2 + {{\log }_3}y}} + 3{\log _3}y\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {3^t} + 3\left( {t – 2} \right)\).

Ta có: \(f’\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 + 3 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\). Suy ra hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {2 + {{\log }_3}y} \right) \Leftrightarrow x = 2 + {\log _3}y \Leftrightarrow y = {3^{x – 2}}\).

Do \(0 < y < 2023\) và \(x,y\) nguyên nên

\(1 \le {3^{x – 2}} < 2023 \Leftrightarrow 2 \le x < 2 + {\log _3}2023 \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Ứng với mỗi giá trị \(x\) có một giá trị của \(y\) nên có 7 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nguyên thỏa mãn yêu cầu

bài toán.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.