Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {1\,;\,2023} \right]\) để phương trình \(\left( {{4^{x + 1}} – 65 \cdot {2^x} + 16} \right) \cdot \sqrt {{{\log }_3}{x^2} – m} = 0\) có \(2\) nghiệm nguyên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {1\,;\,2023} \right]\) để phương trình \(\left( {{4^{x + 1}} – 65 \cdot {2^x} + 16} \right) \cdot \sqrt {{{\log }_3}{x^2} – m} = 0\) có \(2\) nghiệm nguyên.

A. \(1012\).

B. \(1011\).

C. \(1\).

D. \(1010\).

Lời giải:

Đkxđ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{\log _3}{x^2} – m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{\log _3}{x^2} \ge m\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} \ge {3^m} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge {3^{\frac{m}{2}}}\\x \le – {3^{\frac{m}{2}}}\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\left( {{4^{x + 1}} – 65 \cdot {2^x} + 16} \right) \cdot \sqrt {{{\log }_3}{x^2} – m} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^{x + 1}} – 65 \cdot {2^x} + 16 = 0\\{\log _3}{x^2} – m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 \cdot {\left( {{2^x}} \right)^2} – 65 \cdot {2^x} + 16 = 0\\{\log _3}{x^2} = m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = \frac{1}{4}\\{2^x} = 16\\{x^2} = {3^m}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 4\\x = {3^{\frac{m}{2}}}\\x = – {3^{\frac{m}{2}}}\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, suy ra để phương trình đã cho có \(2\) nghiệm nguyên khi:

TH1: Phương trình có \(2\) nghiệm nguyên là \(x = – 2\,;\,x = 4\); giá trị \({3^{\frac{m}{2}}}\) không nguyên

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 < – {3^{\frac{m}{2}}}\\4 > {3^{\frac{m}{2}}}\\\frac{m}{2} \notin {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{\frac{m}{2}}} < 2\\\frac{m}{2} \notin {\mathbb{N}^*}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2{\log _3}2\\\frac{m}{2} \notin {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.\), mà \(m\) nguyên, \(m \in \left[ {1\,;\,2023} \right]\)\( \Rightarrow m = 1\).

TH2: Phương trình có \(2\) nghiệm nguyên là \(x = \pm {3^{\frac{m}{2}}}\), và \(x = – 2\,;\,x = 4\) không thoả mãn điều kiện

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{2} \in {\mathbb{N}^*}\\ – {3^{\frac{m}{2}}} < – 2 < 4 < {3^{\frac{m}{2}}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{2} \in {\mathbb{N}^*}\\\frac{m}{2} > {\log _3}4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{2} \in {\mathbb{N}^*}\\m > 2{\log _3}4\end{array} \right.\);

Mà \(m\) nguyên, \(m \in \left[ {1\,;\,2023} \right]\)\( \Rightarrow m\) là số chẵn, \(m \in \left[ {3\,;\,2023} \right]\), có \(1010\) giá trị của \(m\) thoả mãn.

Vậy có tất cả \(1011\) giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {1\,;\,2023} \right]\) để phương trình \(\left( {{4^{x + 1}} – 65 \cdot {2^x} + 16} \right) \cdot \sqrt {{{\log }_3}{x^2} – m} = 0\) có \(2\) nghiệm nguyên.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.