Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { – 2023\,;2023} \right)\) để phương trình \({3.6^x} – \left( {7m – 48} \right).\sqrt {{6^x}} + 2{m^2} – 16m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} \ge 2\,\,?\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { – 2023\,;2023} \right)\) để phương trình \({3.6^x} – \left( {7m – 48} \right).\sqrt {{6^x}} + 2{m^2} – 16m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} \ge 2\,\,?\)

A. \(2023\).

B. \(4036\).

C. \(2022\).

D. \(2014\).

Lời giải:

• Xét phương trình: \({3.6^x} – \left( {7m – 48} \right).\sqrt {{6^x}} + 2{m^2} – 16m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \sqrt {{6^x}} = {6^{\frac{x}{2}}}\), điều kiện: \(\,t > 0\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(3{t^2} – \left( {7m – 48} \right)t + 2{m^2} – 16m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Nhận xét: Với mỗi \(\,t > 0\) phương trình \({6^{\frac{x}{2}}} = t\) có tương ứng đúng 1 nghiệm \(x \in \mathbb{R}\).

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\) dương

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25{m^2} – 480m + 3204 > 0\\\frac{{7m – 48}}{3} > 0\\\frac{{2{m^2} – 16m}}{3} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {5m – 48} \right)^2} > 0\\m > \frac{{48}}{7}\\m \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}m > 8\\m \ne \frac{{48}}{5}\end{array} \right.\)

• Gọi \({t_1},{t_2}\) là hai nghiệm dương của phương trình \(\left( 2 \right)\), khi đó \({6^{\frac{{{x_1}}}{2}}} = {t_1}\); \({6^{\frac{{{x_2}}}{2}}} = {t_2}\).

Suy ra \({t_1}.\,{t_2} = {6^{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}}}\)

Khi đó: điều kiện \({x_1} + {x_2} \ge 2 \Leftrightarrow \)\({t_1}.\,{t_2} \ge 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} – 16m}}{3} \ge 6 \Leftrightarrow 2{m^2} – 16m – 18 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \in \left( { – \,\infty \,; – 1} \right] \cup \left[ {9\,; + \,\infty } \right)\)

• Kết hợp và ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ {9\,; + \,\infty } \right)\\m \ne \frac{{48}}{5}\end{array} \right.\)

Do \(m\) là số nguyên và \(m\) thuộc khoảng \(\left( { – 2023\,;2023} \right)\) nên \(m \in \left\{ {\,9\,;10\,;11\,;\,\,\,\,…\,\,\,;2022\,} \right\}\).

Vậy có \(2014\) giá trị nguyên của tham số \(m\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.