Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) để phương trình \(4{\left( {{{\log }_{25}}x} \right)^2} – {\log _{\frac{1}{5}}}x + 1 – 3m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải:

Xét phương trình \(4{\left( {{{\log }_{25}}x} \right)^2} – {\log _{\frac{1}{5}}}x + 1 – 3m = 0 \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_{{5^2}}}x} \right)^2} + {\log _5}x + 1 – 3m = 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_5}x} \right)^2} + {\log _5}x = 3m – 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\) Đặt \(t = {\log _5}x\) với \(t \in \left( { – \infty \,;\,0} \right)\). Khi đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + t = 3m – 1\).

Xét \(f\left( t \right) = {t^2} + t \Rightarrow \)\(f’\left( t \right) = 2t + 1\)

\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = – \frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên

Dựa vào biến thiên ta suy ra được \( – \frac{1}{4} < 3m – 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{3}{4} < 3m < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} < m < \frac{1}{3}\)

Vậy không có giá trị nguyên \(m\) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.