Giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\log _2^2x – 4{\log _2}x + m + 1 = 0\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + 3{x_1}{x_2} = 84\) thuộc khoảng nào sau đây

Giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\log _2^2x – 4{\log _2}x + m + 1 = 0\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + 3{x_1}{x_2} = 84\) thuộc khoảng nào sau đây

A. \(\left( {1;3} \right)\).

B. \(\left( {5;7} \right)\).

C. \(\left( {3;5} \right)\).

D. \(\left( { – 1;1} \right)\).

Lời giải:

Điều kiện: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\). Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({t^2} – 4t + m + 1 = 0\left( 2 \right)\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ‘ > 0\)\( \Leftrightarrow 3 – m > 0\)\( \Leftrightarrow m < 3\).

Khi đó theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 4\\{t_1}{t_2} = m + 1\end{array} \right.\).

Suy ra \({x_1}{x_2} = {2^{{t_1}}}{.2^{{t_2}}} = {2^{{t_1} + {t_2}}} = {2^4} = 16\).

Mặt khác \({\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + 3{x_1}{x_2} = 84\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – {x_1}{x_2} = 84\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 100\)\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 10\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 10\\{x_1}{x_2} = 16\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2;{x_2} = 8\\{x_1} = 8;{x_2} = 2\end{array} \right.\).

Suy ra \({t_1}{t_2} = {\log _2}{x_1}.{\log _2}{x_2} = 3\) hay \(m + 1 = 3\)\( \Leftrightarrow m = 2\). Chọn đáp án A.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.