Cho \(0 \le x \le 2022\) và \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x – 3y = {8^y}\). Có bao nhiêu cặp \(\left( {x;y} \right)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

Cho \(0 \le x \le 2022\) và \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x – 3y = {8^y}\). Có bao nhiêu cặp \(\left( {x;y} \right)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

A. 1.

B. 2022.

C. 2021.

D. 4.

Lời giải:

Ta có : \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x – 3y = {8^y}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 1 + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = {8^y} + 3y\\ \Leftrightarrow {2^{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)}} + {\log _2}\left( {x + 1} \right) + = {2^{3y}} + 3y\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {2^t} + t;\). \(y’ = f’\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0,\;\forall t\).

Suy ra hàm số \(y = f\left( t \right)\)đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) tương đương: \(f\left( {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3y \Leftrightarrow x = {8^y} – 1\)

Mà \(0 \le x \le 2022 \Leftrightarrow 0 \le {8^y} – 1 \le 2022 \Leftrightarrow 0 \le y \le {\log _8}2023\)

\(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\). Mỗi giá trị của \(y\) cho một giá trị của \(x\), \(\left( {x = {8^y} – 1} \right)\).

Vậy có 4 cặp \(\left( {x;y} \right)\)nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.