Cho \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _9}(9x + 18) + x – 2y = {9^y}\).Có bao nhiêu cặp số \((x\,;y)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

Cho \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _9}(9x + 18) + x – 2y = {9^y}\).Có bao nhiêu cặp số \((x\,;y)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

A. \(2019\).

B. \(2018\).

C. \(1\).

D. \(3\).

Lời giải:

Do \(0 \le x \le 2020\) nên \({\log _3}(9x + 18)\) luôn có nghĩa.

Ta có \({\log _9}(9x + 18) + x – 2y = {9^y}\)\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 2) + x + 2 = 2y + {2^{3y}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 2) + {3^{{{\log }_3}(x + 2)}} = 2y + {3^{2y}}\) \((1)\)

Xét hàm số \(f(t) = t + {3^t}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) và \(f'(t) = 1 + {3^t}\ln 3\) \( \Rightarrow \) \(f'(t) > 0\) \(\forall t \in \mathbb{R}\).

Suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó \((1) \Leftrightarrow {\log _3}(x + 2) = 2y\) \( \Leftrightarrow x + 2 = {3^{2y}}\)

Ta có \(0 \le x \le 2020\) nên \(2 \le x + 2 \le 2022\) suy ra \(2 \le {3^{2y}} \le 2022\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _3}2 \le y \le \frac{1}{2}{\log _3}2022\) mà \(y \in \mathbb{Z}\) thì \(y \in \left\{ {1\,;2\,;\left. 3 \right\}} \right.\).

Vậy có \(3\) cặp số \((x\,;y)\)nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp \((1\,;7)\), \((2\,;79)\),\((3\,;277)\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.