Phương trình \({{\rm{e}}^x} – {{\rm{e}}^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 – {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \) có nghiệm thuộc khoảng nào

Phương trình \({{\rm{e}}^x} – {{\rm{e}}^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 – {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \) có nghiệm thuộc khoảng nào

A. \(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).

B. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

D. \(\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\).

Lời giải:

Điều kiện: \(x \ge – \frac{1}{2}\).

Ta có \({{\rm{e}}^x} – {{\rm{e}}^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 – {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \)\( \Leftrightarrow {{\rm{e}}^x} – {{\rm{e}}^{\sqrt {2x + 1} }} = – {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {{\rm{e}}^x} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {{\rm{e}}^{\sqrt {2x + 1} }} + {\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)^2}\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right){\rm{ = }}{{\rm{e}}^t} + {\left( {t + 1} \right)^2}\) với \(t \ge – \frac{1}{2}\)

\(f’\left( t \right){\rm{ = }}{{\rm{e}}^t} + 2\left( {t + 1} \right) > 0\) với mọi \(t \ge – \frac{1}{2}\). Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right){\rm{ = }}f\left( {\sqrt {2x + 1} } \right){\rm{ }}\)\( \Leftrightarrow x = \sqrt {2x + 1} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2x + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} – 2x – 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 – \sqrt 2 \\x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \). Chọn đáp án

D.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.