Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\log _{\sqrt 2 }^2\left( {2x} \right) – 23{\log _2}x + 7 < 0\) là

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\log _{\sqrt 2 }^2\left( {2x} \right) – 23{\log _2}x + 7 < 0\) là

A. Vô số.

B. \(5.\)

C. \(3.\)

D. \(4.\)

Lời giải:

Điều kiện: \(x > 0\).

\(\log _{\sqrt 2 }^2\left( {2x} \right) – 23{\log _2}x + 7 < 0\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{{\log }_{{2^{\frac{1}{2}}}}}\left( {2x} \right)} \right]^2} – 23{\log _2}x + 7 < 0\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {2\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x} \right)} \right]^2} – 23{\log _2}x + 7 < 0\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {1 + 2{{\log }_2}x + \log _2^2x} \right) – 23{\log _2}x + 7 < 0\)

\( \Leftrightarrow 4\log _2^2x – 15{\log _2}x + 11 < 0\)

Đặt \(t = {\log _2}x\), khi đó bất phương trình trở thành \(4{t^2} – 15t + 11 < 0 \Leftrightarrow 1 < t < \frac{{11}}{4}\)

Với \(1 < t < \frac{{11}}{4}\) \( \Rightarrow 1 < {\log _2}x < \frac{{11}}{4}\)\( \Leftrightarrow 2 < x < {2^{\frac{{11}}{4}}}\)

Các nghiệm nguyên của bất phương trình trên là \(\left\{ {3,4,5,6} \right\}\).

Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.