Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá 728 số nguyên \(y\) thỏa mãn \({\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}\left( {x + y} \right)\)?
A. \(59\).
B. \(58\).
C. \(116\).
D. \(115\).
Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương \({\log _3}(x + y) – {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \le 0\)
Xét hàm số \(f\left( y \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right) – {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right)\).
Tập xác định \(D = \left( { – x;\, + \infty } \right)\).
Với mọi \(x \in \mathbb{Z}\), ta có \({x^2} \ge x\) nên \(f’\left( y \right) = \frac{1}{{\left( {x + y} \right)\ln 3}} – \frac{1}{{\left( {{x^2} + y} \right)\ln 4}} \ge 0,\,\forall x \in D\)
Suy ra hàm số \(f\left( y \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – x;\, + \infty } \right)\).
Do \(y\) là số nguyên thuộc khoảng \(\left( { – x;\, + \infty } \right)\) nên \(y = – x + k,\,k \in {\mathbb{Z}^ + }\).
Giả sử \(y = – x + k\) là nghiệm của bất phương trình thì \(f(y) = f( – x + k) \le 0\).
Mà \( – x + 1 < – x + 2 < \,…\, < – x + k\) và \(f(y)\) đồng biến trên khoảng \(( – x\,; + \infty )\) nên ta có:
\(f( – x + 1) < f( – x + 2) < \,…\, < f( – x + k) \le 0\) suy ra các số nguyên \( – x + 1,\,\, – x + 2,\,\,…\,,\,\, – x + k\) đều là nghiệm của bất phương trình , hay bất phương trình sẽ có \(k\) số nguyên \(y\) thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi \(x\).
Để có không quá \(728\) số nguyên \(y\) thì \(f( – x + 729) > 0 \Leftrightarrow {\log _3}729 – {\log _4}\left( {{x^2} – x + 729} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – x – 3367 < 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – \sqrt {13469} }}{2} < x < \frac{{1 + \sqrt {13469} }}{2}\)
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { – 57,\,\, – 56,\,\,…,\,\,58} \right\}\). Vậy có 116 số nguyên \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit.
Để lại phản hồi