Sách Toán - Học Toán - Đề Thi Toán

Học toán, Đề thi toán, Sách giáo khoa Toán, trắc nghiệm Toán online

Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ có đồ thị $(C)$. Xét tính đúng sai:

by Để lại bình luận

📌 Đề bài (Câu 9 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):

Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ có đồ thị $(C)$. Xét tính đúng sai:

a) Đồ thị $(C)$ có điểm cực đại là $(0; 2)$ và điểm cực tiểu là $(2; -2)$
b) Đồ thị $(C)$ nhận điểm $I(1; 0)$ làm tâm đối xứng
c) Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm uốn $I(1; 0)$ có hệ số góc bằng $-3$
d) Đường thẳng $y = 3$ cắt đồ thị $(C)$ tại đúng 3 điểm phân biệt

💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Xét hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm bậc nhất: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y = -2 \end{array}\right.$.

Vì hệ số $a = 1 > 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$ với giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}} = -2$. Do đó, tọa độ điểm cực đại là $(0; 2)$ và tọa độ điểm cực tiểu là $(2; -2)$.
👉 Ý a) ĐÚNG.

• Đạo hàm bậc hai: $y” = 6x – 6$.
Cho $y” = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y(1) = 1^3 – 3(1)^2 + 2 = 0$.
Do đó, điểm uốn của đồ thị là $I(1; 0)$. Đồ thị của mọi hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba.
👉 Ý b) ĐÚNG.

• Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn $I(1; 0)$ là $k = y'(1) = 3(1)^2 – 6(1) = -3$.
👉 Ý c) ĐÚNG.

• Xét sự tương giao đồ thị hàm số với đường thẳng $y = 3$:
Dựa vào bảng biến thiên, để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị $(C)$ tại 3 điểm phân biệt thì điều kiện là $y_{\text{CT}} < m < y_{\text{CĐ}} \Leftrightarrow -2 < m < 2$.
Ở đây $m = 3 > y_{\text{CĐ}} = 2$, do đó đường thẳng $y = 3$ chỉ cắt đồ thị $(C)$ tại đúng 1 điểm duy nhất (thuộc nhánh $x > 2$). Xem thêm bài toán về số nghiệm của phương trình dựa vào cực trị.
👉 Ý d) SAI.

👉 Kết luận Đúng/Sai: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai (A, B, C Đúng; D Sai)

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ

  • Cực trị hàm bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$). Đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$. Đồ thị có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ có 2 nghiệm phân biệt (tức $\Delta’ = b^2 – 3ac > 0$).
  • Tâm đối xứng (Điểm uốn): Hoành độ điểm uốn $x_0$ thỏa mãn $y”(x_0) = 0 \Leftrightarrow x_0 = -\frac{b}{3a}$. Điểm $I(x_0; y(x_0))$ là tâm đối xứng của đồ thị bậc ba.
  • Hệ số góc tiếp tuyến: Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ là $k = y'(x_0)$. Đối với hàm bậc ba, tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất (nếu $a > 0$) hoặc lớn nhất (nếu $a < 0$).
  • Biện luận số giao điểm với đường thẳng $y = m$:
    • $m > y_{\text{CĐ}}$ hoặc $m < y_{\text{CT}}$: Cắt tại 1 điểm duy nhất.
    • $m = y_{\text{CĐ}}$ hoặc $m = y_{\text{CT}}$: Tiếp xúc tại 1 điểm và cắt tại 1 điểm (tổng 2 giao điểm).
    • $y_{\text{CT}} < m < y_{\text{CĐ}}$: Cắt tại 3 điểm phân biệt.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)

Bài tập 1: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x – 1$ có đồ thị $(C_1)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

a) Điểm cực tiểu của đồ thị là $(-1; -3)$ và điểm cực đại là $(1; 1)$.
b) Tâm đối xứng của đồ thị $(C_1)$ là gốc tọa độ $O(0; 0)$.
c) Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn có phương trình là $y = 3x – 1$.
d) Phương trình $-x^3 + 3x – 1 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• $y’ = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Ta có $y(-1) = -3$ (CT), $y(1) = 1$ (CĐ). → a) Đúng.
• $y” = -6x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y(0) = -1$. Tâm đối xứng là $I(0; -1) \neq O(0; 0)$. → b) Sai.
• Tiếp tuyến tại $I(0; -1)$ có $k = y'(0) = 3 \Rightarrow y = 3(x – 0) – 1 = 3x – 1$. → c) Đúng.
• Ta có $y_{\text{CT}} = -3 < 0 < y_{\text{CĐ}} = 1$ nên đường thẳng $y = 0$ cắt $(C_1)$ tại 3 điểm phân biệt, phương trình có 3 nghiệm phân biệt. → d) Đúng.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Sai, c – Đúng, d – Đúng.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 4$ có đồ thị $(C_2)$. Xét tính đúng sai:

a) Đồ thị $(C_2)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm $M(2; 0)$.
b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị bằng $2\sqrt{5}$.
c) Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị $(C_2)$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $0 \le m \le 4$.
d) Đồ thị $(C_2)$ nhận điểm $U(1; 2)$ làm tâm đối xứng.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• $y’ = 3x^2 – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. $A(0; 4)$ (CĐ), $B(2; 0)$ (CT). Tại $B(2; 0)$, $y(2) = 0$ và $y'(2) = 0$ nên $(C_2)$ tiếp xúc trục hoành. → a) Đúng.
• $AB = \sqrt{(2 – 0)^2 + (0 – 4)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$. → b) Đúng.
• Để có 3 giao điểm phân biệt thì $y_{\text{CT}} < m < y_{\text{CĐ}} \Leftrightarrow 0 < m < 4$ (không lấy dấu bằng). → c) Sai.
• Điểm uốn $y” = 6x – 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y(1) = 2 \Rightarrow U(1; 2)$ là tâm đối xứng. → d) Đúng.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.

Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$ có đồ thị $(C_3)$. Xét tính đúng sai:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.
b) Điểm uốn của $(C_3)$ có tọa độ là $(2; \frac{5}{3})$.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là $k = -1$.
d) Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có hệ số góc dương.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• $y’ = x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)$. Trên $(1; 3)$, $y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến. → a) Sai.
• $y” = 2x – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y(2) = \frac{8}{3} – 8 + 6 + 1 = \frac{5}{3}$. → b) Đúng.
• Hệ số góc tiếp tuyến tại uốn là $y'(2) = 2^2 – 4(2) + 3 = -1$. → c) Đúng.
• 2 điểm cực trị là $A(1; \frac{7}{3})$ và $B(3; 1)$. Phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là $y = -\frac{2}{3}x + 3$, có hệ số góc $-\frac{2}{3} < 0$. → d) Sai.
👉 Đáp án: a – Sai, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai.

Bài tập 4: Cho hàm số $y = 2x^3 – 6x + 1$ có đồ thị $(C_4)$. Xét tính đúng sai:

a) Giá trị cực đại của hàm số là $5$.
b) Đường thẳng $y = -3$ cắt $(C_4)$ tại 2 điểm phân biệt.
c) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = -1$ song song với trục hoành.
d) Không có tiếp tuyến nào của $(C_4)$ có hệ số góc bằng $-8$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• $y’ = 6x^2 – 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. $y(-1) = 5$ (CĐ), $y(1) = -3$ (CT). → a) Đúng.
• $y = -3$ chính là $y_{\text{CT}}$, nên đường thẳng $y = -3$ tiếp xúc đồ thị tại điểm $(1; -3)$ và cắt tại một điểm khác $\Rightarrow$ đúng 2 điểm phân biệt. → b) Đúng.
• Tại $x = -1$, $y'(-1) = 0$ và $y(-1) = 5 \neq 0$, tiếp tuyến là $y = 5$ song song với trục hoành. → c) Đúng.
• Hệ số góc tiếp tuyến $k = y'(x) = 6x^2 – 6 \ge -6$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do $-8 < -6$ nên không tồn tại tiếp tuyến có hệ số góc $-8$. → d) Đúng.
👉 Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Đúng.

Bài tập 5: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$ có đồ thị $(C_5)$. Xét tính đúng sai:

a) Hàm số có 2 điểm cực trị.
b) Đồ thị $(C_5)$ cắt trục hoành tại đúng 1 điểm duy nhất $x = 1$.
c) Điểm uốn của đồ thị là $I(1; 0)$.
d) Hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• $y = (x – 1)^3 \Rightarrow y’ = 3(x – 1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nghiệm bội 2). Do đó hàm số không có cực trị. → a) Sai.
• $(x – 1)^3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$, giao điểm duy nhất $(1; 0)$. → b) Đúng.
• $y” = 6(x – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y(1) = 0$. Tâm đối xứng $I(1; 0)$. → c) Đúng.
• Vì $y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và triệt tiêu tại hữu hạn điểm ($x = 1$) nên hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. → d) Đúng.
👉 Đáp án: a – Sai, b – Đúng, c – Đúng, d – Đúng.

Reader Interactions

Để lại phản hồi